Учебная работа № 1921. Кривые и поверхности второго порядка
ЭЛЛИПС.
Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний от двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина; требуется, чтобы эта постоянная была больше расстояния между фокусами. Фокусы эллипса принято обозначать через F1 и F2.
Пусть М —произвольная точка эллипса с фокусами F1 и F2. Отрезки F1 М и F2 М (так же как и длины этих отрезков) называются фокальными радиусами точки М. Постоянную сумму фокальных радиусов точки эллипса принято обозначать через 2а. Таким образом, для любой точки М эллипса имеем:
F1 М + F2 М = 2а.
Расстояние F1 и F2 между фокусами обозначают через 2с. Пусть дан какойнибудь эллипс с фокусами F1 ,F2.
Возьмем на плоскости произвольную точку М и обозначим ее координаты через х и у. Обозначим, далее, через r1 иr 2 расстояния от точки М до фокусов ( r1 = F1 М, r 2 = F2 М ). Точка М будет находиться на данном эллипсе в том и только в том случае, когда
r1 + r 2 = 2а.
Чтобы получить искомое уравнение, нужно в равенстве заменить переменные r1 иr 2 их выражениями через координаты х, у.
Заметим, что так как F1 F2 = 2с и так как фокусы F1 и F2 расположены на оси Ох симметрично относительно начала координат, то они имеют соответственно координаты (—с; 0) и (+с; 0); приняв это во внимание находим:
Заменяя r1 иr 2 , получаем:
Это и есть уравнение рассматриваемого эллипса, так как ему удовлетворяют координаты точки
М (х; у), когда точка М лежит на этом эллипсе. Возведёмобе части равенства в квадрат, получим:
или
Возводя в квадрат обе части последнего равенства, найдем:
а2 х2 — 2а2 сх + а2 с2 + а2 у2 = а4 — 2а2 сх + с2 х2 ,
откуда
(а2 —с2 )х2 + а2 у2 = а2 (а2 —с2 ).
Здесь мы введем в рассмотрение новую величину
;
а > с, следовательно, а2 —с2 > 0 и величина b —вещественна.
b2 = a 2 — c2 ,
тогда
b2 x2 + a2 y2 = a2 b2 ,
или
.
Это уравнение называется каноническим уравнением эллипса.
Уравнение
определяющее эллипс в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, есть уравнение второй степени; таким образом, эллипс есть линия второго порядка.
Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами этого эллипса к длине его большой оси; обозначив эксцентриситет буквой ε, получаем:
Так как с <a , то ε < 1, т. е. эксцентриситет каждого эллипса меньше единицы.
Заметим, что c2 = a 2 — b2 ; поэтому
отсюда
Следовательно, эксцентриситет определяется отношением осей эллипса, а отношение осей, в свою очередь, определяется эксцентриситетом. Таким образом, эксцентриситет характеризует форму эллипса. Чем ближе эксцентриситет к единице, тем меньше 1— ε2 , тем меньше, следовательно, отношение
Рассмотрим какойнибудь эллипс и введем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы этот эллипс определялся каноническим уравнением
Предположим, что рассматриваемый эллипс не является окружностью, т. е. что а≠ b и, следовательно, ε=0. Предположим еще, что этот эллипс вытянут в направлении оси Ох, т. е. что а >b .
Две прямые, перпендикулярные к большой оси эллипса и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии
Уравнения директрис в выбранной системе координат имеют вид
Первую из них мы условимся называть левой, вторую—правой. Так как для эллипса ε < 1, то
х2 + у2 = R2 .
ГИПЕРБОЛА.
Пусть М —произвольная точка гиперболы с фокусами F1 и F2 . Отрезки F1 М и F2 М (так же, как и длины этих отрезков) называются фокальными радиусами точки М и обозначаются через r1 и r 2 ( r1 = F1 М, r 2 = F2 М ). По определению гиперболы разность фокальных радиусов ее точки М есть постоянная величина; эту постоянную принято обозначать через 2а.
Пусть дана какаянибудь гипербола с фокусами F1 и F2 . Возьмем на плоскости произвольную точку М и обозначим ее координаты через х и у, а фокальные радиусы F1 М и F2 М через r1 и r 2 . Точка М будет находиться на (данной) гиперболе в том и только в том случае, когда
r1 — r 2 = ±2а.
Так как F1 F2 = 2с и так как фокусы F1 и F2 расположены на оси Ох симметрично относительно начала координат, то они имеют соответственно координаты (—с; 0) и (+с; 0); приняв это во внимание находим:
Заменяя r1 и r 2 , получаем:
Это и есть уравнение рассматриваемой гиперболы, так как ему удовлетворяют координаты точки М (х; у), когда точка М лежит на гиперболе.
Возведём обе части равенства в квадрат; получим:
или
Возводя в квадрат обе части этого равенства, найдем:
c2 x2 – 2a2 cx + a4 = a2 x2 – 2a2 cx + a2 c2 + a2 y2 ,
откуда
(c2 – a2 )x2 – a2 y2 = a2 (c2 – a2 ) .
Здесь мы введем в рассмотрение новую величину
с >a , следовательно, с2 —а2 >0 и величинаb —вещественна.
b2 = с2 —а2 ,
тогда
b2 x2 — a2 y2 = a2 b2 ,
или
Уравнение
определяющее гиперболу в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, есть уравнение второй степени; таким образом, гипербола есть линия второго порядка.
Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами этой гиперболы к расстоянию между ее вершинами; обозначив эксцентриситет буквой ε, получим:
Так как для гиперболы с >a , то ε >1 ; т. е. эксцентриситет каждой гиперболы больше единицы. Заметив, что c2 = a 2 + b2 , находим:
отсюда
Следовательно, эксцентриситет определяется отношением
Чем меньше эксцентриситет, т. е. чем ближе он к единице, тем меньшеε2 —1, тем меньше, следовательно, отношение
Рассмотрим какуюнибудь гиперболу и введем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы эта гипербола определялась каноническим уравнением
Две прямые, перпендикулярные к той оси гиперболы, которая ее пересекает, и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии
Уравнения директрис в выбранной системе координат имеют вид
Первую из них мы условимся называть левой, вторую —правой.
Так как для гиперболы ε > 1, то
Отсюда следует, что правая директриса расположена между центром и правой вершиной гиперболы; аналогично, левая директриса расположена между центром и левой вершиной.
ПАРАБОЛА.
Фокус параболы принято обозначать буквой F , расстояние от фокуса до директрисы—буквой p. Величину р называют параметром параболы.
Пусть дана какаянибудь парабола. Возьмем на плоскости произвольную точку М и обозначим ее координаты через х и у. Обозначим далее через r расстояние от точки М до фокуса ( r = FM ), через d — расстояние от точки М до директрисы. Точка М будет находиться на (данной) параболе в том и только в том случае, когда
r=d.
Чтобы получить искомое уравнение, нужно заменить переменныеr и d их выражениями через текущие координаты х, у.
Заметим, что фокус F имеет координаты
Обозначим через Q основание перпендикуляра, опущенногоиз точки М на директрису. Очевидно, точка Q имеет координаты
Заменяя r и d , найдем
Это и есть уравнение рассматриваемой параболы, так как ему удовлетворяют координаты точки
М (х; у), когда точка М лежит на данной параболе.
Возведем обе части равенства в квадрат; получим:
или
у2 =2рх.
Это уравнение называется каноническим уравнением параболы. Уравнение у2 =2рх, определяющее параболу в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, есть уравнение второй степени; таким образом, парабола есть линия второго порядка.
Министерство образования РФ
Пензенская Государственная АрхитектурноСтроительная
Академия
РЕФЕРАТ
Тема: «Кривые и поверхности второго порядка»
Выполнил: Богданович Ольга
Специальность: ОБД
Обозначение: 240400 Группа: ОБД11
Проверил: Фадеева Г.Д.
Оценка:
Пенза – 2000.
Кривые
второго
порядка
Поверхности
второго
порядка
Эллипсоид
Однополостный гиперболоид
Двухполостный гиперболоид
Конус
Эллиптический параболоид
Гиперболический параболоид
Эллиптический цилиндр
Гиперболический цилиндр
Параболический цилиндр