Учебная работа № 1841. Методы решения некорректно поставленных задач

Учебная работа № 1841. Методы решения некорректно поставленных задач

ВВЕДЕНИЕ

Среди математических задач выделяется класс задач, решения которых неустойчивы к малым изменениям исходных данных. Они характеризуются тем, что сколь угодно малые изменения исходных данных могут приводить к произвольно большим изменениям решений. Задачи подобного типа, по существу, являются плохо поставленными. Они принадлежат к классу некорректно поставленных задач.

Быстро растущее использование вычислительной техники требует развития вычислительных алгоритмов для решения широких классов задач. Но что надо понимать под «решением» задачи? Каким требованиям должны удовлетворять алгоритмы нахождения « решений »?

Классические концепции и постановки задач не отражают многих особенностей встречающихся на практике задач. Мы покажем это на примере.

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений

Az=u ,

где z — искомый вектор, и — известный вектор, А ={a_ij } — квадратная матрица с элементами a _ij .

Если система невырожденная, т. е.detA ¹0, то она имеет единственное решение, которое можно найти по известным формулам Крамера или другими способами.

Если система вырожденная, то она имеет решение (притом не единственное) лишь при выполнении условий разрешимости, состоящих из равенств нулю со ответствующих определителей.

Таким образом, прежде чем решить систему, надо проверить, вырожденная она или нет. Для этого требуется вычислить определитель системыdetA.

Если п — порядок системы, то для вычисления detА требуется выполнить около п ³ операций. С какой бы точностью мы ни производили вычисления, при достаточно большом значении п, вследствие накопления ошибок вычисления, мы можем получить значение detА, как угодно отличающееся от истинного. Поэтому желательно иметь (построить) такие алгоритмы нахождения решения системы, которые не требуют предварительного выяснения вырожденности или невырожденности системы.

Кроме того, в практических задачах часто правая часть u и элементы матрицы А,

т. е. коэффициенты системы уравнений, известны нам приближенно. В этих случаях вместо системы, мы имеем дело с некоторой другой системойA¹ z=u¹ такой, что

||А ¹ — А ||<=h , ||u¹ u||<= d, где смысл норм обычно определяется характером задачи. Имея вместо матрицы А матрицу А ¹ , мы тем более не можем высказать определенного суждения овырожденности или невырожденности системы.

В этих случаях о точной системе Az = и нам известно лишь то, что для матрицы А и правой части и выполняются неравенства ||А¹ —А ||<= h и ||и ¹ —и || < = d. Но систем с такими исходными данными (А, и) бесконечно много, и в рамках известного нам уровня погрешности они неразличимы. Среди таких «возможных точных систем» могут быть и вырожденные.

Поскольку вместо точной системы мы имеем приближенную систему A ¹ z =и ¹ , то речь может идти лишь о нахождении приближенного решения. Но приближенная система может быть и неразрешимой. Возникает вопрос: что надо понимать под приближенным решением системы? Оно должно быть также устойчивым к малым изменениям исходных данных (А, и).

В данной работе будет введено понятие приближенного решения некорректно поставленных задач, а также будет рассмотрено несколько методов нахождения таких решений.

1. ПОНЯТИЕ КОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫХ И НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧ

1.1. Различают корректно поставленные, и некорректно поставленные задачи. Понятие корректной постановки задач математической физики было введено

Ж. Адамаром в связи с желанием выяснить, какие типы граничных условий наиболее естественны для различных типов дифференциальных уравнений (для эллиптических, например,— задача Дирихле и ей аналогичные, для гиперболических — задача Коши).

Решение всякой количественной задачи обычно заключается в нахождении «решения» z по заданным «исходным данным» и, z=R(u). Мы будем считать их эле ментами метрических пространствF иU с расстояниями между элементами; u₁ , u₂ ÎU; z₁ ,z₂ ÎF. Метрика обычно определяется постановкой задачи.

1. 2. Пусть определено понятие «решения» и каждому элементу и ÎU отвечает единственное решениеz=R(u) из пространстваF.

Задача определения решенияz=R(u) из простран­ства F по исходным данным

и ÎU называется устойчивой на пространствах (F, U), если для любого числа e> О можно указать такое число d (e) > 0, что из неравенства r_U (u₁ ,u₂ )<= d (e) следуетr_F (z_1, z₂ )<= e, гдеz₁ =R(u₁ ), z₂ =R(u ₂ ) ; u₁ ,u₂ ÎU; z₁ ,z₂ ÎF.

Задача определения решенияz из пространства F по «исходным данным» и из пространства U называется корректно поставленной на паре метрических прост­ранств (F, U), если удовлетворяются требования (усло­вия):

1) для всякого элемента и ÎU существует решение z из пространства F,

2) решение определяется однозначно;

3) задача устойчива на пространствах (F, U). В математической литературе длительное время су­ществовала точка зрения, согласно которой всякая ма­тематическая задача должна удовлетворять этим требо­ваниям .

Задачи, не удовлетворяющие перечисленным требова­ниям, называются некорректно поставленными.

Следует отметить, что определение некорректно по­ставленных задач относится кданной паре метри­ческих пространств (F, U), так как в других метриках та же задача может быть корректно поставленной .

1.3 . Задача нахождения приближенного решения не­корректно поставленной задачи вида

Az = и, и ÎU, (1; 3,1)

в естественном классе элементов F является практически недоопределенной.Эта задача является некорректно поставленной, например, в случаях, когда А — вполне непрерывный оператор. Тогда обрат­ный ему оператор A¹ вообще говоря, не будет непрерывным на U и решение уравнения (1; 3,1) не будет устойчивым к малым изменениям правой части и (в метрике пространстваU). Исход­ными данными здесь являются правая часть уравнения u и оператор А.

Предположим, что оператор А нам известен точно, а правая часть уравнения (1; 3,1) известна с точностью d, т. е. вместо ее точного значения u_T нам известны элемент и ¹ и число d такие, что r_U (u_T ,u¹ )<= d. По этим данным, т. е. по (u¹ , d), требуется найти такой элемент z_d , ко­торый стремился бы (в метрике F) кz_T при d®0. Та­кой элемент мы будем называть приближенным (к z_T ) решением уравнения Az = и ¹ .

Элементы zÎF, удовлетворяющие условию r_U (Az, и ¹ ) <= d, будем называть сопоставимыми по точности с ис­ходными данными (и ¹ , d). Пусть Q_d —совокупность всех таких элементов z ÎF. Естественно приближенные ре­шения уравнения Az=и ¹ искать в классе Q_d элементов z , сопоставимых по точности с исходными данными

(и ¹ , d ).

Однако в ряде случаев этот класс элементов слишком широк. Среди этих элементов есть такие, которые могут сильно отличаться друг от друга ( в метрике пространства F ). Поэтому не все элементы класса Q_d можно брать в качестве приближенного решения уравнения (1;3,1).

2. МЕТОД ПОДБОРА. КВАЗИРЕШЕНИЯ

Возможность определения приближенных решений некорректно поставленных задач, устойчивых к малым изменениям исходных данных, основывается на исполь­зовании дополнительной информации относительно реше­ния. Возможны различные типы дополнительной инфор­мации.

В первой категории случаев дополнительная инфор­мация, носящая количественный характер, позволяет сузить класс возможных решений, например, до ком­пактного множества, и задача становится устойчивой к малым изменениям исходных данных. Во второй катего­рии случаев для нахождения приближенных решений, устойчивых к малым изменениям исходных данных, ис­пользуется лишь качественная информация о решения (например, информация о характере его гладкости).

В настоящей главе будет рассмотрен метод подбора, имеющий широкое практическое применение, метод квазирешения, а также метод замены исходного уравне­ния близким ему и метод квазиобращения. В качестве некорректно поставленной задачи мы будем рассматри­вать задачу решения уравнения

Az=u (2; 0,1)

относительноz, гдеu ÎU, z ÎF, U и F—метрические пространства. Оператор А отображаетF на U. Предпо­лагается, что существует обратный оператор А ¹ , но он не является, вообще говоря, непрерывным.

Уравнение (2; 0,1) с оператором А, обладающим ука­занными свойствами, будем называть операторным урав­нением первого рода, или, короче,— уравнением пер­вого рода.

2.1. Метод подбора решения некорректно поставленных задач

2.1.1. Широко распространенным в вычислительной практике способом приближенного решения уравнения (2;0,1) является метод подбора. Он состоит в том, что для элементов z некоторого заранее заданного подклас­са возможных решений М (М ÎF) вычисляется опера­торAz, т. е. решается прямая задача. В качестве при­ближенного решения берется такой элемент z₀ из мно­жества М, на котором невязкаr_U (Az,u ) достигает мини­мума, т. е.

r_U (Az₀ ,u ) = inf r_U (Az,u )

zÎM

Пусть правая часть уравнения (2;0,1) известна точ­но, т. е. и =u_T , и требуется найти его решение z_T . Обычно в качестве М берется множество элементов z, зависящих от конечного числа параметров, меняющихся в ограниченных пределах так, чтобы М было замкнутым множеством конечномерного пространства. Если искомое точное решение z_T уравнения (2; 0,1) принадлежит мно­жеству М, то и достигается эта нижняя граница на точном решении z_T . Если уравнение (2;0,1) имеет единственное решение, то элемент z₀ , минимизирующий r_U (Az,и), определен однозначно.

Практически минимизация невязки r_U (Az,и ) произ­водится приближенно и возникает следующий важный вопрос об эффективности метода подбора, т. е. о возмож­ности как угодно приблизиться к искомому точному ре­шению.

Пусть {z_n } — последовательность элементов, для ко­торой r_U (Az_n ,u) ®0 при n®¥. При каких условиях можно утверждать, что при этом и r_F (z_n ,z_T ) ®0, т. е. что {z_n } сходится к z_T ?

Это вопрос обоснования эффективности метода подбора.

2.1.2. Стремление обосновать успешность метода подбора привело к установлению общефункциональных требова­ний, ограничивающих класс возможных решений М, при которых метод подбора является устойчивым и z_n ®z_T . Эти требования заключаются в компактности мно­жества М и основываются на приводимой ниже извест­ной топологической лемме.

Лемма.Пусть метрическое пространство F отобра­жается на метрическое пространство U и Uo — образ мно­жества Fo, FoÌF, при этом отображении. Если отобра­жение F®U непрерывно, взаимно однозначно и множест­во Fo компактно на F, то обратное отображение Uo®Fo множества Uoна множество Fo также непрерывно по мет­рике пространства F.

Доказательство. Пусть z — элементы множества F (zÎF), а u—элементы множества U (uÎU). Пусть функция u=j(z) осуществляет прямое отображение F®U, а функция z=y(u)—обратное отображение U®F.

Возьмем произвольный элемент u₀ из Uo. Покажем, что функция y(u) непрерывна на u₀ . Предположим, что это неверно. Тогда существует такое число e₁ > 0, что для всякого d > 0 найдется элемент и ¹ из Uo, для которого r_U (и ¹ , и ₀ ) < d, в то время как r_F (z¹ ,z₀ )>= e₁ . Здесь z=y(u¹ ), z₀ =y(u₀ ) и z¹ ÎFo, z₀ ÎF₀ .

Возьмем последовательность {d_n } положительных чи­сел d_n , сходящуюся к нулю при п ®¥. Для каждого d_n найдется элемент u_n ¹ из Uo, для которого r_U (и _n ¹ , и ₀ ) < d_n , но r_F (z_n ¹ ,z₀ )>= e₁ , где z_n ¹ =y(u_n ¹ ). Очевидно, последова­тельность {u_n ¹ } сходится к элементу u₀ . Так как z_n ¹ при­надлежат компактному на F множеству Fo, то из после­довательности {z_n ¹ } можно выбрать подпоследовательность {Z¹ n_k }, сходящуюся по метрике F к некоторому элементу z₀ ÎF. При этом z₀ ¹ ¹z₀ , так как для всякого n_k r_F (Z¹ n_k ,z₀ )>= e₁ , следовательно и r_F (z¹ ₀ ,z₀ )>= e₁ . Этой подпоследовательности {Z¹ n_k } отвечает последователь­ность элементов u¹ n_k = j (Z¹ n_k ) из Uo, сходящаяся к u¹ ₀ = j(z¹ ₀ ) и являющаяся подпоследовательностью по­следовательности { u¹ _n }. Так как последовательность { u¹ _n } сходится к и ₀ =j(z₀ ), то u¹ ₀ =j(z¹ ₀ )=u₀ =j(z₀ ) , т. е. j(z₀ )= j(z¹ ₀ ). В силу взаимной однозначности отоб­ражения F ®U z¹ ₀ =z₀ , что противоречит ранее установ­ленному неравенству z¹ ₀ ¹z₀ . Лемма доказана.

Эту лемму можно сформулировать ко

Учебная работа № 1841. Методы решения некорректно поставленных задач