Учебная работа № 1826. Дифференциальная геометрия

(6 оценок, среднее: 4,67 из 5)

Загрузка...

Учебная работа № 1826. Дифференциальная геометрия

Полугруппой наз. множество объектов, если для его элементов определена замкнутая ассоциативная бинарная операция.

Группой наз. множество объектов, если для его элементов определена замкнутая ассоциативная бинарная операция и существует единица.

Кольцо множество объектов с двумя бинарными операциями, являющееся группой по одной из операций, и полугруппой по второй операции, причем для элементов кольца справедлив закон ассоциативности и дистрибутивности.

Поле – кольцо с единицей, содержащее элементы отличные от нуля, для каждого из которых определен обратный элемент по “умножению” (являющееся группой по умножению).

Линейным векторным првом над кольцом наз. множество объектов называемых векторами с определенными операциями векторного сложения и умножения вектора на скаляр, такими, что это множество является группой по векторному сложению и справедливы законы ассоциативности и дистрибутивности для умножения на скаляр.

Алгеброй нам кольцом скаляров с единицей наз. множество объектов с определенными над ними тремя операциями сложения, умножения и умножения на элементы из кольца скаляров, что оно является кольцом по первым двум операциям и линейным векторным првом над кольцом скаляров.

Факторгруппой называется множество объектов, являющиеся собой классами эквивалентности некоторой заданной группы G по подгруппе Н, каждый из которых получается последовательным сложением элементов из группы G с заданным элементом из подгруппы Н. Факторгруппа обозначается G/H.

Отображением одного множества в другое наз. набор правил сопоставляющих каждому объекту из первого множества объект из второго множества, называемого образом отображения.

Мономорфизмом называется отображение, устанавливающее взаимно однозначное соответствие между образом и прообразом.

Эпиморфизмом называется такое отображение, что для каждой точки образа существует элемент из прообраза, который в него перешел.

Система координат есть отображение некоторого пространства в числовые последовательности фиксированной длины, называемые координатами.

Дифференциалом отображения из множества с системой координат u, v во множество с системой координат x, y наз. отображение касательных прв V_u в V_v , задаваемое матрицей D(x, y)/D(u, v).

Рангом квадратной матрицы порядка n наз. число ее линейно независимых строк.

Ранг наз. максимальным, если он совпадает с порядком матрицы.

Метрическим првом наз. такое множество объектов, называемых точками, что для каждой упорядоченной пары точек этого множества определено неотрицательное действительное число, удовлетворяющее правилом треугольника и называемое расстоянием или метрикой.

Окрестностью радиуса R точки метрического пространства наз. множество точек, расстояние от которых до заданной точки не превышает радиуса.

Предельной точкой множества в метрическом пространстве наз. такая точка, что в любой сколь угодно малой окрестности этой точки найдется, по крайней мере, одна точка из этого множества кроме ее самой.

Открытым наз. такое множество, что для каждой его точки существует окрестность, целиком лежащая в этом множестве.

Замкнутым множеством наз. такое множество, дополнение к которому открыто.

Компактным наз. ограниченное замкнутое множество.

Связанным наз. множество, которое нельзя представить в виде непересекающихся множеств, таких, что одно множество не содержит предельную точку другого.

Областью наз. открытое связанное множество.

nмерным мнзием наз. метрическое прво M , если каждая точка Р которого содержится в окрестности U из M, гомеоморфной некоторой области евклидова пространства Rⁿ размерности n.

Атлас карт система открытых множеств {U_i } покрывающих мнзие М.

Непрерывным в точке а отображением ¦ топологического пространства С в С’ наз. такое отображение , что для каждой окрестности U’ точки ¦(a) в С’ существует такая окрестность точки a в С, образ которой содержится в U’.

Непрерывным отображением наз. отображение, непрерывное в каждой точке.

Гладким отображением наз. непрерывное отображение.

Гомеоморфизмом наз. непрерывное взаимно однозначное отображение, имеющее обратное отображение.

Координатный гомеоморфизм – отображение карты атласа М в соответствующую область V из Rⁿ .

Диффеоморфизмом ¦ наз. гомеоморфизм являющийся гладким отображением, такой, что обратное отображение тоже является гладким.

Локальной системой координат наз. система координат в области V евклидова пространства Rⁿ , где V – образ некоторой карты мнзия M .

Функциям перехода от координат {} к {}называются функции, преобразующие одну в другую части двух карт на месте их пересечения = .

Гладким мнзием наз. мнзие, если на некотором его атласе функции перехода от координат {}к {}непрерывно дифференцируемы для любой пары карт.

Погружением наз. такое гладкое отображение из одного мнзия в другое, что во втором мнзии выделяется некая подобласть, для которой имеет место взаимно однозначное соответствие с точками исходного мнзия.

Вложением наз. такое погружение, если образом погружения является замкнутое множество.

Подмнзием наз. образ мнзия при вложении.

Ориентируемым мнзием наз. такое мнзие, для которого существует атлас, где все матрицы перехода из одной карты в другую имеют положительный якобиан.

Разбиением единицы , подчиненному покрытию U _a для многообразия M называется такая система действительнозначных функций j _a , что supj _a достигается на U _a , сумма j _a (x)=1 на M .

Теорема. Пусть X – произвольное подпрво Rⁿ и U _a его покрытие. Тогда существует Разбиением единицы , подчиненному покрытию U _a

Касательным првом в точке a мнзия М наз. совокупность касательных векторов кривых, проходящих через эту точку.

Производной функции ¦ по направлению V ( x ¹ ,…, x ⁿ ) в точке А называется число . Производная по направлению линейна, удовл. правилу Лейбница.

Лемма. Пусть функция ¦ равна нулю в окрти т. A и { ¶ } – набор формальных операция, ставящих функции в соотв. Некрое число и удовл. прлу Лейбница. Тогда ¶ ¦ (A)=0.

Лемма. ¶ (Const)=0.

Лемма Адамара. Пусть ¦ дифференцируема в окрти т. A тогда для т. B из окрти А справедливо соотношение : ¦ (B)= ¦ (A)+().

Теорема. Сопоставление касательному вектору в т. A производной по направлению этого вектора V_A ® { ¶ } – изоморфизм.

Гладким расслоением называется составной объект, состоящий из прва расслоения (гладкое мнзие Е ), базы расслоения (гладкое мнзие М), проекции расслоения (гладкое отображение из пространства расслоения в базу, дифференциал которого имеет максимальный ранг), слоя (гладкое мнзие F ), структурной группа G гладких преобразований слоя F .

Структура расслоения задается набором диффеоморфизмов, которые каждому прямому произведению слоя F на некоторую область из базы ставят в соответствие прообраз этой области на расслоении а так же функциями перехода между прямыми произведениями слоя F и областями базы, где эти области пересекаются, причем функции склейки для слоя являются элементами структурной группы G гладких преобразований слоя F .

Касательным расслоением гладкого мня M наз. объединение всех касательных пространств мнзия.

Теорема. Размерность касательного расслоение nмерного гладкого мня M – 2n.

Теорема. Пусть ¾ гладкое сюръективное отображение с компактными прообразами точек, N ¾ связное и все точки f регулярны. Тогда f ¾ расслоение. (В частности, все прообразы ¾ одинаковые многообразия).

Векторное поле определено на мнзии, если каждой точке мнзия сопоставлен некоторый вектор, координаты которого меняются непрерывно от точки к точке. Векторные поля образуют бесконечномерное прво.

Теорема. На Mⁿ (U_А ) существуют такие гладкие кривые x¹ (t),…, xⁿ (t) , что касательные вектора к ним образуют касательно прво в точке А .

Коммутатором (Производной Ли)векторных полей x и h в системе координат x¹ ,…,xⁿ наз. векторное такое поле [ x , h ], что [x ,h ]ⁱ =i =1,…,n . Коммутатор – гладкое векторное поле, обладающее сввами антикоммутативности ([u,v]=[v,u]), дистрибутивности и линейности в т.ч. [gv,hw]=gh[v,w] .

Неособой точкой векторного поля v(x), наз. точка, в некоторой окрестности которой векторное поле непрерывно и не обращается в нуль.

Особой точкой векторного поля v(x), наз. точка, в некоторой окрестности которой нарушаются хотя бы одно из двух условий:1).в некоторой окрестности точки векторное поле непрерывно и 2) векторное поле не обращается в нуль в этой точке.

Невырожденной наз. такая особая точка векторного поля, что детерминант в этой точке отличен от нуля, где x ⁱ координаты векторного поляx в системе координат (x¹ ,…, xⁿ ).

Индексом особой точки векторного поля v(x), наз. знак детерминанта , где x ⁱ координаты векторного поля x в системе координат (x¹ ,…, xⁿ ).

Базисным наз. такое векторное поле на мнзии, что вектора, соответствующие ему на карте в каждой точке можно дополнить до базиса на этой карте.

Голономными называются такие векторные поля v и w , что [v,w]=0.

Теорема. Пусть a₁ ,…,a_n – голономные л.н.з. поля, тогда локально они являются базисными.

Правильной для отображения ¦ из мнзия M₁ в M₂ наз. точка из исходного мнзия M₁ , такая, что матрица Якоби в этой точке имеет максимальный ранг.

Регулярной точкой отображения из мнзия M₁ в M₂ наз. такая точка из мнзия M₂ , что все точки из ее прообраза – правильные.

Степенью отображения в регулярной точке, прообраз которой состоит из конечного числа точек, наз. сумма знаков детерминантов отображений из прообразов регулярной точки в эту точку.

Числом вращения векторного поля в особой точке Р наз. степень отображения векторного поля на кривой, окружающей особую точку в единичную окружность по формуле ¦_x (x ¹ ,…,x ⁿ )=, где x векторное поле на мнзии. Оно совпадает с индексом особой точки.

Сопряженным к прву векторов V называют прво V^* линейных векторфункций, называемых ковекторами. Матрицей перехода от одной системы координат К другой является матрица, обратная к якобиану.

Гладкой гомотопией отображения ¦ из M в N наз. такое отображение цилиндра, полученного как результат прямого произведения гладкого мнзия N на отрезок [0, 1], в гладкое мнзие М, такое, что отображение точки (x,0) совпадает с ¦ (x).

Гомотопией или процессом гомотопии называются все множество гладких гомотопий.

Гомотопными называются отображения ¦ _t (x), такие, что существует такая гомотопия, что оба отображения содержатся в ней.

Гомотопически эквивалентными называют такие два многообразия, что существуют гладкие отображения, переводящие одно в другое и наоборот, что их композиции гомотопны соответствующим тождественным отображениям.

Тензором типа (p, q) ранга p+q наз. полилинейная фя от p векторов и q ковекторов. У него n^p+q координат =T(e₁ ,…,e_p ,E¹ ,…,E^q ).

Тензором типа (p, q) ранга p+q наз. объект, задаваемый в каждой система координат набором чисел, преобразующихся при замене систем координат (x) ® (x’) по закону: