Учебная работа № 1807. Антье и ее окружение

Учебная работа № 1807. Антье и ее окружение

Андреев А.А., Савин А.Н.

Антье и ее свойства

Целой частью действительного числа x называется наибольшее целое число, не превосходящее x. Обозначается целая часть x символом «[x]». Далее целую часть x будем также называть «антье» (от франц. entire целый). Например: [3,5]=3, [3,5]=4, [3]=3, [5]=5.

Наряду с целой частью числа существует понятие дробной части числа, которая обозначается «{x}» и определяется следующим образом: {x} = x[x]. Так {3,5}=0.5, {3,5}=0.5, {5}=0, {5}=0. Очевидно, что для любого действительного числа x выполняется двойное неравенство:0 Ј {x} < 1.

Антье обладает различными свойствами. Перечислим некоторые из них.

1. Если x і 0, то [x] і 0. Если x < 0, то [x] < 0.

2. Если p целое число, то [x+p] = [x]+p.

Так как дробная часть числа x равна дробной части числа x+p, то из равенства {x+p} = {x} следует x+p[x+p] = x[x], откуда получаем [x+p] = [x]+p.

3. Для любых двух действительных чисел a и b справедливо [a+b] і [a]+[b].

Действительно, a = [a]+{a}, b = [b]+{b}. Следовательно, a+b = [a]+[b]+{a}+ {b}. Так как[a] и [b] целые числа, то по свойству 2

[a+b] = [[a]+ [b]+{a}+{b}] = [a]+[b]+[{a}+ {b}] і [a]+ [b],

потому что {a}, {b} і 0 и по свойству 1 [{a}+ {b}] і 0.

Свойство 3 распространяется также на любое конечное число действительных чисел:

[a+b+…+w] і [a]+[b]+…+ [w].

4. Если [x] = [y], то |xy| < 1.

Так как x = [x]+{x}, y = [y]+{y}, то |xy| = |[x]+{x}[y]{y}| = |{x}{y}| <1. Последнее неравенство следует из того, что дробная часть числа больше или равна нулю и меньше единицы. Следовательно, разность дробных частей двух чисел больше 1 и меньше 1, а модуль этой разности меньше 1. Отсюда |xy| < 1.

5. Если n натуральное число, то для любого действительного x выполняется

é

ê

ë

[x ]

n

ù

ú

û

=

é

ê

ë

x

n

ù

ú

û

.

Так как x = nq+r+a, 0 Ј r < n, a = {x}, то

é

ê

ë

[x ]

n

ù

ú

û

=

é

ê

ë

nq +r

n

ù

ú

û

=

é

ê

ë

q +

r

n

ù

ú

û

= q

é

ê

ë

x

n

ù

ú

û

=

é

ê

ë

nq +r +a

n

ù

ú

û

=

é

ê

ë

q +

r +a

n

ù

ú

û

= q .

Теперь, познакомившись с целой и дробной частью, можно рассмотреть следующий

Пример 1. Доказать, что для всех вещественных a и b выполняется неравенство

[a]+[a+b]+[b] Ј [2a]+[2b].

Решение.

Пусть [a+b] = [a]+[b]+e3 ; [2a] = 2[a]+e1 ; [2b] = 2[b]+e2 ; где ei целое. Покажем, что e3 равно 0 или 1. Имеет место неравенство

1 = a+b1ab < [a+b][a][b] < a+ba+1b+1 = 2.

Отсюда получаем, что 1 < e3 < 2, откуда e3 = 0 или e3 = 1, то же верно для e1 , e2 . Рассмотрим разность

[2a]+[2b][a][b][a+b] = [a+a]+[b+b][a][a+b][b] =
= [a]+[a]+e1 +[b]+[b]+e2 [a][a][b]e3 [b] = e1 +e2 e3 .

Осталось показать, что e1 +e2 e3 і 0, ei = 0 или 1. Это неравенство может быть нарушено только при e1 = e2 = 0 и e3 = 1. Покажем, что это невозможно. Если e1 = 0 то [2a] = 2[a], т.е. a = N+d, где N целое, а 0 Ј d < 0,5, аналогично, b = K+l, где K целое, а 0 Ј l < 0,5, но тогда [a+b] = N+K = [a]+[b], т.е.e3 = 0. Мы пришли к противоречию, следовательно [a]+[a+b]+[b] Ј [2a]+[2b], что и требовалось доказать.

Пример 2. Найдите

lim

n®Ґ

{(2+Ц2)n }.

Решение

Число Nn = (2+Ц2)n +(2Ц2)n является целым при любом натуральном n. Поэтому

lim

n®Ґ

{(2+Ц2)n } =

lim

n®Ґ

{Nn (2Ц2)n } =

lim

n®Ґ

{(2Ц2)n } =

lim

n®Ґ

(1{(2Ц2)n }) = 1,

так как {z} = 1{z}, если z не целое число, и |2Ц2| < 1.

Пример 3. Найдите [x], если x=1+(1/2)2 +(1/3)2 +…+(1/1997)2 .

Решение

Для любого натурального числа n і 2 справедлива оценка

1

N2

<

1

n(n1)

=

1

n1

1

n

.

Применим эту оценку ко всем слагаемым числа x, начиная со второго:

x < 1+ æ
ç
è
1

1

2

ö
÷
ø
+ æ
ç
è

1

2

1

3

ö
÷
ø
+…+ æ
ç
è

1

1996

1

1997

ö
÷
ø
= 2

1

1997

< 2.

Так как 1 < x < 2, то [x] = 1.

Учебная работа № 1807. Антье и ее окружение

Яндекс.Метрика