(6 оценок, среднее: 4,67 из 5)
Загрузка...
Учебная работа № 1807. Антье и ее окружение
Антье и ее свойства
Целой частью действительного числа x называется наибольшее целое число, не превосходящее x. Обозначается целая часть x символом «[x]». Далее целую часть x будем также называть «антье» (от франц. entire целый). Например: [3,5]=3, [3,5]=4, [3]=3, [5]=5.
Наряду с целой частью числа существует понятие дробной части числа, которая обозначается «{x}» и определяется следующим образом: {x} = x[x]. Так {3,5}=0.5, {3,5}=0.5, {5}=0, {5}=0. Очевидно, что для любого действительного числа x выполняется двойное неравенство:0 Ј {x} < 1.
Антье обладает различными свойствами. Перечислим некоторые из них.
1. Если x і 0, то [x] і 0. Если x < 0, то [x] < 0.
2. Если p целое число, то [x+p] = [x]+p.
Так как дробная часть числа x равна дробной части числа x+p, то из равенства {x+p} = {x} следует x+p[x+p] = x[x], откуда получаем [x+p] = [x]+p.
3. Для любых двух действительных чисел a и b справедливо [a+b] і [a]+[b].
Действительно, a = [a]+{a}, b = [b]+{b}. Следовательно, a+b = [a]+[b]+{a}+ {b}. Так как[a] и [b] целые числа, то по свойству 2
[a+b] = [[a]+ [b]+{a}+{b}] = [a]+[b]+[{a}+ {b}] і [a]+ [b],
потому что {a}, {b} і 0 и по свойству 1 [{a}+ {b}] і 0.
Свойство 3 распространяется также на любое конечное число действительных чисел:
[a+b+…+w] і [a]+[b]+…+ [w].
4. Если [x] = [y], то |xy| < 1.
Так как x = [x]+{x}, y = [y]+{y}, то |xy| = |[x]+{x}[y]{y}| = |{x}{y}| <1. Последнее неравенство следует из того, что дробная часть числа больше или равна нулю и меньше единицы. Следовательно, разность дробных частей двух чисел больше 1 и меньше 1, а модуль этой разности меньше 1. Отсюда |xy| < 1.
5. Если n натуральное число, то для любого действительного x выполняется
|
Так как x = nq+r+a, 0 Ј r < n, a = {x}, то
|
é ê ë |
[x ] n |
ù ú û |
= |
é ê ë |
nq +r n |
ù ú û |
= |
é ê ë |
q + |
r n |
ù ú û |
= q |
é ê ë |
x n |
ù ú û |
= |
é ê ë |
nq +r +a n |
ù ú û |
= |
é ê ë |
q + |
r +a n |
ù ú û |
= q . |
Теперь, познакомившись с целой и дробной частью, можно рассмотреть следующий
Пример 1. Доказать, что для всех вещественных a и b выполняется неравенство
|
Решение.
Пусть [a+b] = [a]+[b]+e3 ; [2a] = 2[a]+e1 ; [2b] = 2[b]+e2 ; где ei целое. Покажем, что e3 равно 0 или 1. Имеет место неравенство
|
Отсюда получаем, что 1 < e3 < 2, откуда e3 = 0 или e3 = 1, то же верно для e1 , e2 . Рассмотрим разность
|
Осталось показать, что e1 +e2 e3 і 0, ei = 0 или 1. Это неравенство может быть нарушено только при e1 = e2 = 0 и e3 = 1. Покажем, что это невозможно. Если e1 = 0 то [2a] = 2[a], т.е. a = N+d, где N целое, а 0 Ј d < 0,5, аналогично, b = K+l, где K целое, а 0 Ј l < 0,5, но тогда [a+b] = N+K = [a]+[b], т.е.e3 = 0. Мы пришли к противоречию, следовательно [a]+[a+b]+[b] Ј [2a]+[2b], что и требовалось доказать.
Пример 2. Найдите
|
Решение
Число Nn = (2+Ц2)n +(2Ц2)n является целым при любом натуральном n. Поэтому
|
так как {z} = 1{z}, если z не целое число, и |2Ц2| < 1.
Пример 3. Найдите [x], если x=1+(1/2)2 +(1/3)2 +…+(1/1997)2 .
Решение
Для любого натурального числа n і 2 справедлива оценка
|
Применим эту оценку ко всем слагаемым числа x, начиная со второго:
|
Так как 1 < x < 2, то [x] = 1.