Учебная работа № 1789. Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана

(6 оценок, среднее: 4,67 из 5)

Загрузка...

Учебная работа № 1789. Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана

С.В. Никитин, Омский государственный университет, кафедра математического анализа

В 1973 г. Костант в своей работе [1] показал, что если G компактная группа и ее алгебра Ли, то для элемента X из подалгебры Картана алгебры выполнено равенство

где ортогональная проекция (относительно формы Киллинга); группа Вейля алгебры , означает выпуклую оболочку множества A.

Теорема Костанта о выпуклости является обобщением более ранних результатов Шура и Хорна. В 1923 г. Шур доказал, что диагональ эрмитовой матрицы A=(aij) порядка n с собственными числами содержится в выпуклой оболочке множества , где Sn симметрическая группа, действующая на перестановками координат. Затем Хорн показал, что каждая точка этой выпуклой оболочки может быть получена таким способом.

Таким образом, проекция орбиты это выпуклый многогранник с вершинами в точках . В 1982 г. Guillemin и Stenberg [2], а также Atiyah [3] дали интерпретацию теоремы Костанта как теоремы о выпуклости отображения моментов. Следующий естественный шаг нахождение проекции инвариантной меры с орбиты на подалгебру Картана. Существует формула DuistermaatHeckman’а [4, 5] для преобразования Лапласа проекции инвариантной меры, по которой она может быть восстановлена, но представляет интерес и прямая геометрическая конструкция для нахождения проекции инвариантной меры, которая предложена в этой статье.

2. Предварительные сведения

Пусть конечномерная вещественная простая компактная алгебра Ли, ее подалгебра Картана. Группа Ли G алгебры действует на с помощью коприсоединенного представления : , где , . Определим орбиту элемента :

На каждой орбите существует единственная с точностью до пропорциональности инвариантная мера , т.е. такая, что для любой непрерывной функции и для любого

Пусть ортогональная проекция. Определим проекцию меры на это мера , задаваемая соотношением:

где финитная непрерывная функция на . Мера абсолютно непрерывна и , где плотность проекции меры . Нахождению плотности и посвящена эта статья.

Введем некоторые обозначения: система корней алгебры , множество положительных корней, их полусумма. Пусть решетка весов алгебры , кроме того, пусть обозначает множество , где камера Вейля. представляет собой множество всех старших весов . Каждому неприводимому представлению группы G соответствует единственный старший вес . Если характер этого представления, то формула Кириллова утверждает, что

где

Интеграл в правой части формулы Кириллова можно понимать как обратное преобразование Фурье от функции :

Таким образом, формулу Кириллова можно переписать в следующем виде:

или

Пусть неприводимое представление . Обозначим множество весов как . Если , то обозначает кратность веса в представлении . Известно, что

Поэтому, применяя преобразование Фурье к обеим частям равенства, получаем:

где дельтафункция в точке . Найдя функцию , мы получим выражение для функции :

или

Точное выражение для функции в дальнейшем не требуется, нам достаточно знать, что это положительная, финитная, кусочнонепрерывная функция.

3. Функция

В этом разделе мы определим функцию , через которую выражается функция , а также укажем некоторые ее свойства.

В дальнейшем мы будем использовать следующие обозначения: d ранг алгебры, т.е. размерность подалгебры Картана , s число положительных корней, r разность sd, которая строго больше нуля для всех алгебр Ли (кроме алгебры A1). Для того чтобы определить , мы рассмотрим систему положительных корней как проекцию набора из s попарно ортогональных векторов. Остановимся на этом более подробно.

Пусть , где векторное пространство, порожденное , т.е. линейная оболочка множества , . Рассмотрим некоторое векторное пространство L, в которое вложено как подпространство векторов, имеющих ненулевыми первые d координат. Имеется естественная ортогональная проекция . Нетрудно проверить, что если выбрать подходящую (достаточно большую) размерность пространства L, то в L можно найти набор из s векторов таких, что (ei,ej)=0, если и, кроме того, . Пространство V линейная оболочка векторов , которые образуют в нем ортогональный базис. Введем следующее обозначение:

V+ это конус в пространстве V, порожденный векторами . Определим на функцию следующим образом:

где mes мера Лебега на .

Замечание. В случае алгебры Ли A1 множество 0мерно. В этом случае можно считать, что функция имеет следующий вид:

Функция определена всюду в , непрерывна, кусочнополиномиальна и определяется алгеброй с точностью до пропорциональности, т.е. при выборе другого базиса функция лишь умножается на константу.

Можно рассматривать функцию как непрерывное продолжение дискретной функции Костанта. Функция Костанта , где решетка корней алгебры; это число способов представить в виде суммы положительных корней, Q(0)=1. Пусть решетка в V. Тогда равно числу элементов в множестве , а это мера или объем . Для примера функция Костанта и функция для алгебры Ли A2 связаны следующим образом: , . Формула Костанта для кратностей весов в неприводимом представлении со старшим весом такова: