Учебная работа № 1777. Геометрия

Учебная работа № 1777. Геометрия

Т. Сумма смежных углов = 180°

Т. Вертикальные углы равны (общая вершина,стороны одного сост.продолжение сторон друг.)

Две прямые назся параллельн. , если они лежат в 1й плоскости и не пересекаются.

Акс. (осн.свво паралл.прямых) Через точку, не леж. на данной прямой можно провести на плоскости только 1 прямую, параллельную данной.

Сл. : 1. Если прямая пересекает 1 из паралл. Прямых, то пересет и другую.

2. Если две прямые | | 3ей, то | | друг другу.

Признаки параллельности прямых. Е

А В В А А В

С Д Д

Д С С

ÐВАС ÐДСА внутр. одностор. (1рис)

ÐВАС ÐДСА внутр. накрест лежащ. (2)

ÐЕАВ ÐАСД соответств. (3)

Т 1. Если при пересеч. 2х прямых на плоскости внутр.накрест лежащ. Ð =, то прямые параллельны.

Т 2. Если при пересеч 2х прямх секущей соответственные углы равны,прямые| |.

Докво Пусть (а) и (b) обрт к секущей АВ равные соотв. Ð1=Ð2

Но Ð1=Ð3 (вертикальные)Ð3=Ð2.Но Ð2 и Ð3накрестлежщие.По Т 1 a | | b

Т3. Если при пересеч. 2х прямых секущей на плоскости, сумма внутр. одност. Ð=180°, то прямые | |

Для ТТ 13 есть обратыные.

Т4. Если 2 паралл.прямые пересечны 3й

прямой, то внутр.накрестлеащие Ð=, со

ответств.Ð=, сумма внутр.одностÐ=180°.

Перпедикулярные пре пересекся Ð90°.

1.Через кажд.тчку прямой можно провести ^ ей прямую, и только 1.

2. Из любой тчки (Ï данной прямой) можно опустить перпендикуляр^ на данную прямцю и только 1.

3. две прямые ^ 3й параллельны.

4. Если прямая ^ 1й из | | прямых, то она ^ и другой.

Многоугольник (n угольник)

Т. Любой правильный выпуклый мнк можно вписать в окружность и описать около окружности. (R опис., r впис.)

R = a / 2sin(180°/n); r = a / 2 tg (180°)

Треугольник NB! 1. Все 3 высоты каждогоÑ пересек. в 1 тчке (ортоцентр).

2. Все 3 медианы пересек. в 1 тчке (центр тяжести) делит кажд. Медиану в отн 2:1 (счит. От вершины).

3. Все 3 биссектр. Ñ пересек. в 1 тчке

центр впис. Круга.

4. Все 3 ^, восстановленные из середин сторон Ñ, пересе. в 1 тчке центр опис. круга.

5. Средняя линия | | и =Ѕ основания

H(опущ. на стор. a) = 2 v p(pa)(pb)(pc)

a

M(опущ на стор a) = Ѕv 2b2+2c2 a2

B (‘’)= 2v bcp(pa) / b+c

p полупериметр

aІ=bІ+cІ2bx,хпроекция 1й из сторон

Признаки равенства Ñ : 2Ñ=, если = сотв.

1. 2 стороны и Ð между ними.

2. 2 Ð и сторона между ними.

3. 2 Ð и сторона, противолеж. 1му из Ð

4. три стороны

5. 2 стороны и Ð , лежащий против большей из них.

Прямоугольный Ñ C=90 ° aІ+bІ=cІ

NB! TgA= a/b; tgB =b/a;

sinA=cosB=a/c; sinB=cosA=b/c

Равносторонний Ñ H= v3 * a/2

SÑ= Ѕ h a =Ѕ a b sin C

Параллелограмм

dІ+d`І=2aІ+ 2bІ

S =h a=a b sinA(между а и b)

= Ѕ d d` sinB (между d d`)

Трапеция S= (a+b) h/2 =ЅuvsinZ= Mh

Ромб S =a h=aІsinA= Ѕ d d`

Окружность L= pRn° / 180°,n°центрÐ

Т. Впис.Ð= ЅL , Lдуга,на ктрую опирÐ

S(cектора)= Ѕ RІa= pRІn° / 360°

Векторы.. Скалярное произведение

`а`b=|`a| |`b| cos (`a Ù`b),

|`a| |`b| длина векторов

Скалярное произведение |`a|{x`; y`}и |`b|{x«; y«}, заданных своими координатами, =

|`a| |`b| = x` × y` + x«× y«

Преобразование фигур

1. Центр. Симметрия

2. Осевая симметрия (^)

3. Симм. Отнно плоскости (^)

4. Гомотетия (точки Х О Х« лежат на 1 прямой и расст. ОХ«=k OX, k>0 это гомотетия отнно О с коэфф. К .

5. Движение (сохр расст. Между точками фигуры)

6. Поворот

7. Вращение вокруг оси преобр. Пространства, когда:

все точки оси переходят сами в себя

любая точка АÏ оси р АА` так, что

А и А`Îa, a^р, ÐАОА` = j= const, О точка пересеч. a и р.

Результвт 2х движений= композиции.

8. Паралeн.перенос (x,y,z)(x+a,y=b,x=c)

9. Преобразование подобюием расст. Между тчками изменся в k раз

К=1 движение.

Свва подобия.

1.АВСÎ(а); A`B`C` Î(a`)

2. (p) (p`); [p)[p`); aa`; ÐAÐA`

3. Не всякое подобие гомотетия

NB! S` = kІ S«; V ` = k 3 V «

Плоскости.

Т. Если прямая, Ï к.л. плоскости a,| | к.л. прямой, Îa, то она | |a

Т. (а) | | (b), через (а)и (b) провести плоскость, то линия их пересеч.| | (а)и (b)

T. (Признак парал. 2х плоск.).Если 2 пересек. прямые 1й a| | двум пересек. прямым другой b, то a| | b.

Т. Если 2 парал. Плоскти пересеч. 3й, то линии пересечения | |.

Т. Через тчку вне плоскости можно провести плоскть | | данной и только 1.

Т. Отрезки парал. Прямых, заключенные между 2мя плоскостями, =.

Т. Признак ^ прямой и плсти. Если прямая, перекая плость, ^каждой из 2х перекся прямых, то прямая и плсть ^.

Т. 2 ^ к плсти | |.

Т. Если 1 из 2х паралл. прямых ^, то и другая ^ плоскости.

Т. Признак ^ 2х плостей. Если плсть проходит через ^ к др. псти, то он ^ этой лсти.

Дано [a)^b,[a) Îa,aÈb= (p).Дть:a^b

Докво. [a)^b=·М. Проведем (b) через М, (b)^(p). (a)Ù(b) линейный Ð двугранного угла между aиb. Так как [a)^b(a)^(b) (a)Ù(b)=90°a^b

Т. Если 2 плсти взаимно ^, то прямая

1й плсти ^ линии пересеч. плстей, ^ 2й плсти.

Т. О 3х ^ .. Для того, чтобы прямая, лежя в плсти,, была ^ наклонной, необхмо и достаточно, чтобы эта прямая была ^ проекции наклонной.

Многогранники

Призма. V = S осн × a прямая призма

a боковое ребро, S пс S ^го сечения

V = S пс × а наклонная призма

V = Sбок. повсти призмы + 2Sосн.

Если основание пр. = параллелограмм, то эта призма параллелепипе д.

V=h Sосн. ;Vпрямоуг.параллелда = abc

S=2(ab+ac+bc)

Пирамида V= 1/3 * НS осн. S=S всех Ñ.

Фигуры вращения

Цилиндр V=pRІH; S= 2pR (R+H)

Конус V= 1/3 * НS осн= 1/3 * pRІH

S= Sосн+ Sбок= pR (r + L); Lобразующая

Сфера “оболочка” S= 4pRІ

Шар М= 4/3 pR3

Учебная работа № 1777. Геометрия