Учебная работа № 1767. Математические модели электромеханических систем в пространстве состояний

1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (6 оценок, среднее: 4,67 из 5)
Загрузка...

Учебная работа № 1767. Математические модели электромеханических систем в пространстве состояний

2. Математические модели электромеханических систем в пространстве состояний

Способы получения уравнений состояния реальных физических объектов ничем не отличаются от способов описания этих объектов с помощью дифференциальных уравнений. Уравнения состояния записываются на основе физических законов, положенных в основу работы объекта.

Рассмотрим электромеханическую систему, состоящую из двигателя постоянного тока с независимым возбуждением, работающего на инерционную нагрузку с вязким трением. Управляющим воздействием для двигателя считаем напряжение на якоре U(t), выходной координатой, угол поворота вала двигателя y(t)=j(t). Уравнение электрической цепи имеет вид

,

где противо ЭДС, угловая скорость вала двигателя, единый электромагнитный коэффициент.

Уравнение моментов будет иметь следующий вид

,

где , J момент инерции нагрузки, приведенный к валу двигателя, f коэффициент вязкого трения.

Выберем следующие переменные состояния: х1 =i, x2 =w, x3 =j.

Получим

,

.

Запишем эти уравнения относительно переменных , ,

,

,

,

.

Запишем матричные уравнения

,

,

где

, , .

Рассмотрим структурную схему электромеханической системы с двигателем постоянного тока, работающего на инерционную нагрузку с вязким трением.

Рис. 2.1. Структурная схема электромеханической системы с двигателем постоянного тока

Запишем уравнение состояния для механической системы, представляющей собой груз массой m, подвешенный на пружине и соединенный с гидравлическим демпфером. К грузу приложена сила P(t), выходная переменная перемещения x(t), управляющие воздействия U(t)=P(t). Уравнение движения груза получаем из уравнения равновесия сил

,

где инерционная сила, f коэффициент вязкого трения, сила сопротивления демпфера, сила сопротивления пружины.

Выбираем в качестве переменных состояния x(t) и перемещение и скорость перемещения соответственно.

Рис. 2.2. Механическая система, включающая в своем составе пружину, массу и вязкий демпфер

Так как дифференциальное уравнение имеет второй порядок, то и количество переменных состояния будет равно двум. Исходное уравнение движения груза можно записать в виде двух уравнений

где U(t)=P(t) управляющее воздействие.

Добавим к этим уравнениям следующее уравнение выхода

.

Эти уравнения представляют собой уравнения состояния приведенной механической системы. Запишем эти уравнения состояния в матричном виде

,

.

Запишем это уравнение в другом виде

,

,

где , , , , .

С данным уравнением состояния можно сопоставлять следующую структурную схему, где двойными линиями показаны векторные переменные.

Рис. 2.3. Структурная схема

Пример: Рассмотрим электрическую цепь и получим уравнение состояния RLC цепи

Рис. 2.4. RLC цепь

Динамическое поведение этой электрической системы полностью определяется при t³t0 , если известны начальные значения: i(t0 ), ec (t0 ) и входное напряжение e(t) при t³t0 , следовательно, эта система полностью определяется переменными состояния i(t) и ec (t). При указанных переменных состояния i(t) и ec (t) имеем следующие уравнения

где , .

Введем следующие обозначения

В соответствии с этими обозначениями получаем

причем .

Следовательно, для электрической цепи запишем эту систему в векторноматричном виде

,

.

Запишем матричные уравнения

,

,

где , , , .

Учебная работа № 1767. Математические модели электромеханических систем в пространстве состояний