(6 оценок, среднее: 4,67 из 5)
Загрузка...
Учебная работа № 1695. Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема КошиБине
Курсовая работа
Выполнила студентка II курса группы ПМИ Решоткина Наталья Николаевна
Мурманский Государственный Педагогический Университет
Мурманск 2007
При решении различных задач математики очень часто приходится иметь дело с таблицами чисел, называемых матрицами. С помощью матриц удобно решать системы линейных уравнений, выполнять многие операции с векторами, решать различные задачи компьютерной графики и другие инженерные задачи.
Цель данной работы: теоретическое обоснование и необходимость практического применения теоремы КошиБине:
Пусть 
,
и 
матрицы соответственно, 
и 
Тогда 
Другими словами, при определитель матрицы 
является суммой произведений всевозможных миноров порядка 
в на соответствующие миноры матрицы того же самого порядка
Работа состоит из четырех глав, содержит заключение, список литературы и приложение программы для теоремы КошиБине. В главе I рассматриваются элементы линейной алгебры – матрицы, операции над матрицами и свойства сложения матриц, и умножения на скаляр. Глава II посвящается умножению матриц и его свойств, а также транспонирование произведения двух матриц. В главе III рассматриваются обратимые и элементарные матрицы. В главе IV вводиться понятие определителя квадратной матрицы, рассматриваются свойства и теоремы об определителях, а также приводится доказательство теоремы КошиБине, что является целью моей работы. В дополнение прилагается программа показывающая механизм нахождения определителя произведения двух матриц.
§ 1 Определение, обозначения и типы матриц
Мы определяем матрицу как прямоугольную таблицу чисел:
Где элементы матрицы aij (1≤i≤m, 1≤j≤n)числа из поля 
.Для наших целей поле будет либо множеством всех вещественных чисел, либо множеством всех комплексных. Размер матрицы , где mчисло строк, nчисло столбцов. Если m=n, то говорят, что матрица квадратная, порядка n. В общем случаем матрица называется прямоугольной.
Каждой матрице с элементами aij соответствует n×m матрица с элементами aji . Она называется транспонированной к и обозначается через
. Видно, что 
=. Строки матрицы становятся столбцами в и столбцы матрицы становятся строками в.
Матрица называется нулевой если все элементы равны 0:
Матрица называется треугольной если все ее элементы, расположенные ниже главной диагонали равны 0
Треугольная матрица называется диагональной, если все элементы расположенные вне главной диагонали равны 0
Диагональной матрица называется единичной, если все элементы расположенные на главной диагонали равны 1
Матрица, составленная из элементов, находящихся на пересечении нескольких выбранных строк матрицы и нескольких выбранных столбцов, называется субматрицей для матрицы . Если 
номера выбранных строк и 
номера выбранных столбцов, то субматрица это
В частности, строки и столбцы матрицы можно рассматривать как ее субматрицы.
§2 Операции над матрицами
Определим следующие операции:
Сумма двух матриц , и с элементами 
и 
есть матрица С с элементами 
, запишем это как 
Произведение матрицы на число 
поля есть матрица С с элементами 
, запишем как 
.
Произведение 
матрицы на 
матрицу есть матрица С с элементами 
, запишем
поле скаляров, рассмотрим 
, где элемент матрицы , расположенный в 
строке 
, 
столбце 
. Размерность матрицы .Если 
, то квадратная матрица порядка 
. Множество 
это множество всех матриц над полем 
.
Опр. Две матрицы равны, если они имеют одинаковую размерность и на одинаковых местах расположены одинаковые элементы. Другими словами: 
равна матрице 
, т.е 
Опр. Пусть 
это матрицы одинаковой размерности . Суммой матриц и называется матрица у которой в строке, столбце расположен элемент 
, т.е. 
. Другими словами: Чтобы сложить две матрицы нужно сложить соответствующие элементы:
Пример:
Опр. Пусть 
, 
, 
. Произведение скаляра на матрицу называется у которой в строке, столбце расположен элемент 
. Другими словами: Чтобы скаляр умножить на матрицу нужно все элементы матрицы умножить на скаляр .
Определение. Противоположной к матрице называется матрица 
Свойства сложения и умножения матриц на скаляры:
абелева группа
1) Сложение матриц 
ассоциативно и коммутативно.
2) 
3) 
а) 
б) 
4) 
, 
, 
Опр. Произведением матрицы на 
матрицу называется 
матрица . 
, где 
, где 
Говорят, что 
есть скалярное произведение строки матрицы на столбец матрицы .
, где 
Пример:
Умножение матриц ассоциативно:
1) 
, если определены произведения матриц 
и 
Доказательство:
Пусть , так как определено , то 
и определено , то 
Определим матрицы:
а) 
б) 
(1) матрицы, тогда 
имеют одинаковую размерность
2) Покажем, что на одинаковых местах в матрицах расположены одинаковые элементы
из равенства (1) 
(2), 
(3). Подставляя (3) в (2) получим: 
, тогда 
(4), 
(5). Подставляя (5) в (4) получим:
Вывод: Матрицы имеют одинаковую размерность и на одинаковых местах расположены одинаковые элементы.
Умножение матриц дистрибутивно