Учебная работа № 1686. Интеграл и его свойства
Теоретические вопросы
- Понятие первообразной функции. Теорема о первообразных.
Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной f’( x) или дифференциала df= f’( x) dx функции f( x). В интегральном исчислении решается обратная задача. По заданной функции f( x ) требуется найти такую функцию F( x), что F’(х)= f( x) или dF( x)= F’( x) dx= f( x) dx.
Таким образом, основной задачей интегрального исчисления является восстановление функции F( x) по известной производной (дифференциалу) этой функции. Интегральное исчисление имеет многочисленные приложения в геометрии, механике, физике и технике. Оно дает общий метод нахождения площадей, объемов, центров тяжести и т. д..
Определение. Функция F( x), , называется первообразной для функции f( x) на множестве Х, если она дифференцируема для любого и F’( x)= f( x) или dF( x)= f( x) dx.
Теорема. Любая непрерывная на отрезке [ a; b] функция f( x) имеет на этом отрезке первообразную F(x).
Теорема. Если F1 ( x) и F2 ( x) – две различные первообразные одной и той же функции f( x) на множестве х , то они отличаются друг от друга постоянным слагаемым, т. е. F2 ( x)= F1 x)+ C, где С – постоянная .
- Неопределенный интеграл, его свойства.
Определение. Совокупность F( x)+ C всех первообразных функции f( x) на множестве Х называется неопределенным интегралом и обозначается:
(1)
В формуле (1) f( x) dx называется подынтегральным выражением, f( x) – подынтегральной функцией, х – переменной интегрирования, а С – постоянной интегрирования.
Рассмотрим свойства неопределенного интеграла, вытекающие из его определения.
1. Производная из неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:
и .
2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:
3. Постоянный множитель а (а≠0) можно выносить за знак неопределенного интеграла:
4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:
5. Если F( x) – первообразная функции f( x), то:
6 (инвариантность формул интегрирования). Любая формула интегрирования сохраняет свой вид, если переменную интегрирования заменить любой дифференцируемой функцией этой переменной:
где u – дифференцируемая функция.
- Таблица неопределенных интегралов.
Приведем основные правила интегрирования функций.
I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
Приведем таблицу основных неопределенных интегралов. (Отметим, что здесь, как и в дифференциальном исчислении, буква u может обозначать как независимую переменную ( u= x) , так и функцию от независимой переменной ( u= u( x)) .)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
Интегралы 1 – 17 называют табличными.
Некоторые из приведенных выше формул таблицы интегралов, не имеющие аналога в таблице производных, проверяются дифференцированием их правых частей.
- Замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле.
Интегрирование подстановкой (замена переменной). Пусть требуется вычислить интеграл
Теорема. Пусть функция x=φ( t) определена и дифференцируема на некотором множестве Т и пусть Х – множество значений этой функции, на котором определена функция f( x). Тогда если на множестве Х функция f( x) имеет первообразную, то на множестве Т справедлива формула:
Формула (1) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.
Интегрирование по частям. Метод интегрирования по частям следует из формулы дифференциала произведения двух функций. Пусть u( x) и v( x) – две дифференцируемые функции переменной х . Тогда:
d(uv)=udv+vdu. – (3)
Интегрируя обе части равенства (3), получаем:
Но так как
Соотношение (4) называется формулой интегрирования по частям . С помощью этой формулы отыскание интеграла
В формуле (4) отсутствует произвольная постоянная С , так как в правой части этой формулы стоит неопределенный интеграл, содержащий произвольную постоянную.
Приведем некоторые часто встречающиеся типы интегралов, вычисляемых методом интегрирования по частям.
I. Интегралы вида
II. Интегралы вида
III. Интегралы вида
5. Разложение дробной рациональной функции на простейшие дроби.
Рациональной дробью R( x) называется дробь, числителем и знаменателем которой являются многочлены, т. Е. всякая дробь вида:
Если степень многочлена в числителе больше или равна степени многочлена в знаменателе ( n≥ m) , то дробь называется неправильной . Если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе ( n≤ m) , то дробь называется правильной.
Всякую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена (целой части) и правильной рациональной дроби (это представление достигается путем деления числителя на знаменатель по правилу деления многочленов):
где R( x) – многочленчастное (целая часть) дроби
6. Интегрирование простейших дробей. Интегрирование рациональных дробей.
Интегрирование простейших дробей. Простейшей дробью называется правильная рациональная дробь одного из следующих четырех типов:
1)
2)
3)
4)
Здесь А, a, p, q, M, N– действительные числа, а трехчлен не имеет действительных корней, т. е. p2 /4q < 0.
Простейшие дроби первого и второго типов интегрируются непосредственно с помощью основных правил интегрального исчисления:
Интеграл от простейшей дроби третьего типа приводится к табличным интегралам путем выделения в числителе дифференциала знаменателя и приведения знаменателя к сумме квадратов:
Интегрирование рациональных дробей.
Разложение рациональной дроби на простейшие дроби . Всякую правильную рациональную дробь
Теорема. Правильную рациональную дробь
( A1 , A2 , …, Ak , B1 , B2 , …, B1 , M1 , N1 , M2 , M2 , …, Ms , Ns – некоторые действительные числа).
Метод неопределенных коэффициентов. Суть метода неопределенных коэффициентов состоит в следующем. Пусть дано разложение правильной рациональной дроби
Метод частных значений. При нахождении неопределенных коэффициентов вместо того, чтобы сравнивать коэффициенты при одинаковых степенях х , можно дать переменной х несколько частных значений (по числу неопределенных коэффициентов) и получить таким образом систему уравнений относительно неопределенных коэффициентов. Особенно выгодно применять этот метод в случае, корни знаменателя рациональной дроби
Правило интегрирования рациональных дробей . Для того чтобы проинтегрировать рациональную дробь, необходимо выполнить следующие действия:
1) если рассматриваемая рациональная дробь
где n < m; R( x) – многочлен;
2) если рассматриваемая рациональная дробь
3) интеграл от рациональной дроби представить в виде суммы интегралов от целой части и от соответствующих простейших дробей и вычислить эти интегралы.
- Интегрирование выражений, содержащие тригонометрические функции.
Интегралы вида
при условии, что они не являются табличными. Вычислить их можно различными методами, изложенными ранее. Иногда бывает достаточно преобразовать подынтегральное выражение, использовав тригонометрические формулы, применить методы «подведения» множителя под знак дифференциала, замены переменной или интегрирования по частям.
Для вычисления интеграла вида (7) существует общая универсальная схема вычисления, основанная на универсальной тригонометрической подстановке
Интегралы вида
Интегралы вида
Если t= tgx , то x= arctgt ,
Последний интеграл при n ≥ 2 является интегралом от неправильной рациональной дроби, которая вычисляется по правилу интегрирования рациональных дробей.
Аналогично если t= ctgx , то x= arcctgt ,
Интегралы вида
8. Интегрирование иррациональных выражений.
Интегралы вида
Интегралы вида
где s – общий знаменатель дробей
Интегралы вида
и применяется подстановка:
В результате этот интеграл сводится к табличному:
В числителе интеграла I2 выделяется дифференциал выражения, стоящего под знаком радикала, и этот интеграл представляется в виде суммы двух интегралов:
где I1 – вычисленный выше интеграл.
Вычисление интеграла I3 сводится к вычислению интеграла I1 подстановкой:
Интеграл вида
Квадратный трехчлен ax2 + bx+ c путем выделения полного квадрата и замены переменной может быть представлен в виде
Интеграл
u=k sint (или u=k cost )
сводится к интегралу от рациональной функции относительно sintи cost.
Интегралы вида
1) если p є Z , то применяется подстановка:
x= ts ,
где s – общий знаменатель дробей mи n ;
2) если
a+ bxn = ts ,
где s – знаменатель дроби
3) если
axn +b=ts ,
где s – знаменатель дроби
9. Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл.
Определение. Если существует конечный передел интегральной суммы (8)
при λ→0, не зависящий от способа разбиения τ n отрезка [ a; b] на частичные отрезки и выбора промежуточных точек ξ k , то этот предел называют определенным интегралом (или интегралом Римана) от функции f( x) на отрезке [ a; b] и обозначают:
Если указанный предел существует, то функция f( x) называется интегрируемой на отрезке [a; b] (или интегрируемой по Риману ). При этом f( x) dx называется подынтегральным выражением, f( x) – подынтегральной функцией, х – переменной интегрирования, a и b – соответственно нижним и верхним пределами интегрирования.
Определенный интеграл есть число, равное пределу, к которому стремится интегральная сумма, в случае, когда диаметр разбиения λ стремится к нулю.
Геометрический смысл определенного интеграла. Пусть функция y= f(