(6 оценок, среднее: 4,67 из 5)
Загрузка...
Учебная работа № 1664. Числа в пространстве
Павел Полуян
От автора:
На прошедшей недавно международной математической конференции «Многомерный комплексный анализ» (International Conference «Multidimensional Complex Analysis», Krasnoyarsk, Russia, August 510, 2002) я представил внепрограммный доклад «Существуют ли гипердействительные числа в квантоворелятивистской вселенной?» Доклад был посвящен обширной теме «Нестандартный анализ неклассического движения», на первый план выдвигались математические и методологические аспекты проблемы, связанные с обоснованием нестандартной модели анализа А.Робинсона и расширением поля действительных чисел.
Предлагаемая здесь работа адресована в первую очередь физикам, математические аспекты вынесены за скобки, а физическое содержание конкретизировано. Автор рекомендует заинтересовавшимся читателям обратиться к электронным версиям «Нестандартный анализ неклассического движения. Существуют ли гипердействительные числа в квантоворелятивистской вселенной?», «Время и хронометрика. Ареальные множества», которые представлены на русском и английском языках в Интернете (на сервере Красноярского государственного университета http://res.krasu.ru/nonstandard, а также на http://sciteclibrary.ru/catalog/pages.3556.html, http://sciteclibrary.ru/eng/catalog/pages/3773.html)
Пользуясь случаем, автор благодарит математиков и физиков, высказавших в беседах и по email свои критические и конструктивные комментарии к поставленной проблеме.
I. Превращение 4мерного пространствавремени в квартернионное времяпространство.
Один из научных текстов Вольфганга Паули начинается примечательной фразой: «Введем, как обычно, вещественные координаты Xk для пространства и мнимую координату X4 = iCt для времени, и рассмотрим преобразования Лоренца…» (В.Паули. Труды по квантовой теории. М.: «Наука», 1977, в статье «К математической теории матриц Дирака», п.5 «Преобразование Лоренца волновых функций Дирака», с. 233.). Словесный оборот «как обычно» можно расценить в качестве остроумной интеллектуальной провокации, подразумевающей, что указанную процедуру можно сделать и «необычным» путем. Как? Не трудно сказать: мы попробуем для времени оставить вещественную координату, а 3 пространственные координаты представим как мнимые. Тогда 4мерный псевдоевклидовый континуум Минковского превратится в некое необычное многообразие, которое мы далее будем называть «квартернионное времяпространство».
Появление здесь термина «квартернион» понятно: четверку чисел, выражающих координаты, одно вещественное и три мнимых легко представить в качестве квартерниона. Однако квартернионы это алгебраические числа, а 4х мерное пространствовремя это континуум. Если так, то существуют ли достаточные основания для того, чтобы ставить их в соответствие? К этому вопросу мы вернемся несколько позже, а пока будем расценивать квартернионное времяпространство как некую чисто логическую конструкцию, таковую можно рассмотреть в общем и проанализировать в частностях. Попутно отметим, что в современной науке термин «пространство» уже не связывается однозначно только с мерой расстояния, и ничто не мешает нам составить 4мерное псевдоевклидово пространство индекса 3, где на осях откладывается мера в размерности [t]. Но поскольку время это физический параметр, отражающий важнейший аспект реальности, то нас в данной статье будет интересовать в первую очередь не формальноматематические свойства полученной конструкции, а ее физическая интерпретация.
То, что алгебра квартернионов некоммутативна сразу же наводит на мысль: полученный таким образом абстрактный объект имеет прямое отношение к квантовомеханическим особенностям физического мира. Однако мы не станем забегать вперед, будем рассматривать квартернионное времяпространство таким образом, как если бы мы ничего еще не знали о существовании квантовой механики. Иными словами, постараемся пока сохранить в неприкосновенности классические представления о течении времени и протяженности пространства.
Итак, мы имеем перед собой 4мерное многообразие, где вещественная ось чистое время, а три другие это пространственные координаты, превращенные в мнимые временные оси. При построении 4мерного псевдоевклидового континуума Минковского все четыре координаты были выражены в одной мере [x], что достигалось с помощью умножения временной координаты на коэффициент C скорость света [м/с]. Поэтому в нашем квартернионном времяпространстве одноразмерность получается аналогичным путем: мнимые пространственные координаты должны быть умножены на некий коэффициент S с размерностью [с/м]. Можно было бы сказать, что это «обратная скорость света», но это не так. Обратная скорость света 1/C, как реальная физическая величина не может быть искомым коэффициентом, поскольку шкала обратных скоростей неравномерна. В классическом представлении скорость это отношение, где в числителе отрезок расстояния, а в знаменателе период времени времени как независимой переменной. Тогда для «обратной скорости», где числитель и знаменатель меняются местами, вместе с обращением размерности возникает и неравномерная шкала величин: 1[м/с]=1[с/м], 2[м/с]=1/2[с/м], 3[м/с]=1/3[с/м], 4[м/с]=1/4[м/с] и т.п. Создается впечатление, что по этой причине квартернионное времяпространство не может быть аналогом 4мерного континуума. Однако выход из тупика легко обнаружить, если не считать коэффициент S «обратной скоростью» – это просто некий коэффициент с размерностью [с/м].
Здесь мы от математики должны обратиться к физике. Если коэффициент C в псевдоевклидовом континууме Минковского это вполне конкретная физическая величина, скорость света, имеющая в разных системах отсчета конкретное численное значение, то в нашем квартернионном времяпространстве коэффициент S также должен быть ничем иным как некой физической величиной константой, отличной по сути своей от скорости света, но имеющей размерность [с/м] обратную размерности скорости. На роль такой константы можно выдвинуть комбинацию констант h/e2, где h постоянная Планка, а e заряд электрона. Хорошо известно, что эта комбинация констант наряду с C входит в выражение безразмерной постоянной тонкой структуры 1/a = ħC/e2 = 137,0306… (здесь ħ – постоянная Планка, деленная на два «p» – h/2p). Я полагаю, что так оно и есть: квартернионное времяпространство это математическое выражение реального аспекта микрофизической реальности, где константа S=h/e2 с размерностью [с/м] столь же важна, как важна скорость света для глобального 4мерного континуума Минковского.
Приняв эту трактовку, мы тем самым перекидываем логический мостик между квантовой и релятивистской физикой, обнаруживая пока только формальноматематически глубокую связь между глобальной пространственновременной картиной мира и микрофизической квантовой реальностью. Таким образом, логический смысл безразмерной постоянной тонкой структуры выражается в том, что она показывает соответствие между континуумом Минковского и квартернионным времяпространством. Я полагаю, что Вольфганг Паули, который настаивал на теоретическом обосновании физического статуса этого загадочного числа 137,0306…, имел в виду нечто подобное.
Однако формальных аргументов здесь не достаточно. Мы должны вскрыть и физическую суть обнаруженного соответствия, то есть увидеть связь между граничной скоростью прямолинейного поступательного движения C и константой S, смысл которой пока не понятен. S=h/e2 это комбинация эмпирических констант с размерностью [с/м], мы включили ее в некую математическую структуру, но от этого ее смысл не стал яснее.
В классической физике скорость является количественной мерой поступательного движения, связывает между собой пространственные и временные параметры движения как прямолинейного поступательного перемещения. Если константа S включается нами в квартернионное времяпространство, она также должна пониматься как выражение какогото аспекта движения, где пространственные и временные характеристики както связаны между собой. Более того, важнейшим свойством континуума Минковского являются преобразования Лоренца, приводящие к тому, что закон сложения скоростей при переходе от одной системы отсчета к другой дает предельное значение для прямолинейного поступательного перемещения. Логично предположить, что в квартернионном времяпространстве также обнаружится аналог преобразований Лоренца, который позволит трактовать константу S в качестве инварианта и предела в сложении какихто величин. Так, по крайней мере, должно выглядеть дело в двумерном случае, где на комплексной плоскости псевдоевклидовым образом связываются одна временная и одна пространственная оси. Для континуума Минковского мнимой будет временная ось iCt, а для квартернионного времяпространства пространственная iSx. В двумерном случае дело облегчается тем, что мы оставляем за рамками рассмотрения некоммутативность (с другой стороны, обнаруживается, что некоммутативность связана напрямую с наличием еще двух мнимых пространственных координат).
Поскольку скорость света C это неклассическое ограничение на максимальную скорость (скорость распространения сигнала на расстояние не может быть бесконечной), соответственно, константа S также не позволяет отношению ∆t/∆x принимать бесконечные значения. Однако S это предел для «обратной скорости», а увеличение ∆t/∆x одновременно означает уменьшение отношения ∆x/∆t, что позволяет предположить: «нулевая скорость» столь же недостижима, как и бесконечная.
Тем не менее, и в случае упрощенного двумерного, комплексного представления квартернионного времяпространства, всетаки, остается пока непонятным: что за величины должны здесь складываться, и каков в данном случае физический смысл «системы отсчета»? На эти вопросы нам сейчас и предстоит ответить.
Поскольку S это некий коэффициент пропорциональности между мерой времени t[с] и мерой расстояния x[м], то константа S как самостоятельный параметр выражает некий аспект движения, но, поскольку для поступательного прямолинейного перемещения количественной мерой является классическое понятие скорости V[м/с] и ее неклассический предел C, эта новая константа S должна быть неклассическим пределом какойто вполне классической меры движения, которая тем не менее не является поступательным перемещением. Мы предположим, что искомой формой движения является вращение. *
* Существуют и микрофизические предпосылки, для того, чтобы связать указанную величину именно с вращением. Так, например, в физике элементарных частиц экспериментально определено существование так называемых изотопических преобразований, которые полностью аналогичны обычным вращениям. Вернер Гейзенберг, перечисляя основные группы симметрии, рядом с группой Лоренца помещает особую группу это «группа, исследованная Паули и Гюши, которая соответствует по своей структуре группе трехмерных пространственных вращений она ей изоморфна, и проявляет себя в появлении квантового числа, которое эмпирически было открыто у элементарных частиц и получило название «изоспин». («Квантовая теория и строение материи», в кн. В.Гейзенберг, «Физика и философия. Часть и целое.», М.: «Наука», 1990, с. 103.) При этом, соотношения, следующие из изотопической инвариантности соблюдаются с точностью до поправок, величина которых определяется константой e2/ħC. В учебной литературе отмечается, что «изотопическая инвариантность означает особую симметрию сильных взаимодействий, не связанную с общими свойствами пространства и времени. Хотя изотопическая инвариантность достаточно хорошо установлена экспериментально, связанные с нею свойства симметрии логически не вытекают из существующей теории и природа этих свойств симметрии пока не выяснена». («Изотопический спин», в кн. «Физический энциклопедический словарь», М., 1962, т. 2, с. 143.)
II. Вращение как форма движения, нередуцируемая к прямолинейному.
Итак, мы предполагаем, что специфической формой движения, которая в квартернионном времяпространстве будет вести себя аналогично обычной поступательной скорости, является именно вращение. В принципе, других вариантов у нас просто нет, ведь мы исследуем движение как некое отношение между временным и пространственным измерениями, а таких отношений может быть только два: x/t и t/x. Таким образом, мы ставим двоякую задачу: показать, что вращение это фундаментальная форма движения, равноправная с прямолинейным поступательным, и что количественной мерой его является [с/м].
В математике ПОВОРОТ в пространстве столь же фундаментальная операция как параллельный перенос. Уместно здесь упомянуть Анри Пуанкаре, который указывал на наличие «скрытой аксиомы», которая замаскирована среди аксиом Евклида в виде постулата о прорисовке окружности циркулем. (А.Пуанкаре, «О науке», М.: «Наука», 1983.) То, что поворачиваемая полупрямая рано или поздно совпадает со своим продолжением логически не связано с аксиомами о статичных точках и прямых, Анри Пуанкаре показывает, что устранение этой «аксиомы» может приводить к экзотическим теориям.
Тем не менее, реальный мир устроен так, что и евклидовы и неевклидовы геометрии опираются на этот «эмпирический факт», который, как известно, выражается в конкретном иррациональном числе p. (Образно говоря, число p является своеобразной феноменологической квантовой константой, которая «почемуто» возникает в геометрии в чисто теоретическом конструктивном построении.)
В то же время в классической механике вращение это нечто вторичное по отношению к прямолинейному поступательн