Учебная работа № 1602. План чтения лекции по учебной дисциплине «Математические методы»

Учебная работа № 1602. План чтения лекции по учебной дисциплине «Математические методы»

Юридический техникум Рассмотрено и одобрено ПЦК

г. Кропоткин программирования

Председатель ПЦК

Покалицына О.В.

План

чтения лекции по учебной дисциплине

«Математические методы»

Раздел № 2.Линейное программирование.

Тема № 2.2. Основная задача линейного программирования.

Занятие №

Место проведения: аудитория.

Литература:

1. Венцель Е.С. Исследование операций. Задач, принципы, методология. – М.: Наука, 1980.

2. Шелобаев С.И. Математические методы и модели в экономике, финансах, бизнесе. – М.:ЮНИТИДАНА, 2001

Учебные вопросы и расчет времени

№п/п Учебные вопросы Время, мин Методические указания

1.

2.

Основная задача ЛП (ОЗЛП).

Существование решения.

1. Вводная часть. Организационный момент. План занятия. Основные требования.

2. Основная часть.

1. Основная задача ЛП (ОЗЛП).

Любую задачу линейного программирования можно свести к стандартной форме, так называемой «основной задаче линейного программирования» (ОЗЛП), которая формируется так: найти неотрицательные значения переменные x 1 , x 2 , …, xn , которые удовлетворяли бы условиям – равенствам:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + … +a 1n xn = b 1 ,

a 21 x 1 + a 22 x 2 + … +a 2n xn = b 2 , (6.1.)

………………………………..

am 1 x 1 +am 2 x 2 + … +amn xn = bm .

и обращали бы в максимум линейную функцию этих переменных:

(6.2.)

Случай, когда L надо обратить не в максимум, а в минимум, легко сводится к простому: изменить знак L на обратный (максимизировать не L, а L`=L). Кроме того, от любых условий – неравенств можно перейти к условиям – равенствам ценой введения некоторых новых «дополнительных» переменных. Пусть требуется найти неотрицательные значения переменных x 1 ,x 2 ,x 3 , удовлетворяющие ограничениям – неравенствам

(6.3.)

и обращающие в максимум линейную функцию от этих переменных:

(6.4.)

Начнём с того, что приведём условия (6.3.) к стандартной форме, так, чтобы знак неравенства был ³, а справа стоял нуль. Получим:

(6.5.)

А теперь обозначим левые части неравенств (6.5.) соответственно через y 1 и y 2 :

(6.6.)

Из условий (6.5.) и (6.6.) видно, что новые переменные y 1 , y 2 также должны быть неотрицательными.

Какая же теперь перед нами стоит задача? Найти неотрицательные значения переменных x 1 ,x 2 ,x 3 ,y 1 ,y 2 такие, чтобы они удовлетворяли условиям – равенствам (6.6.) и обращали в максимум линейную функцию этих переменных (то, что в L не входит дополнительные переменные y 1 , y 2 , неважно: можно считать, что они входят, но с нулевыми коэффициентами). Перед нами – основная задача линейного программирования (ОЗЛП). Переход к ней от первоначальной задачи с ограничениями – неравенствами (6.3.) «куплен» ценой увеличения числа переменных на два (число неравенств).

2. Существование решения ОЗЛП и способы его нахождения.

Рассмотрим основную задачу линейного программирования (ОЗЛП): найти неотрицательные значения переменных x 1 , x 2 , …, x n , удовлетворяющие m условиям – равенствам:

a 11 x 1 +a 12 x 2 +…+a 1n xn =b 1 ,

a 21 x 1 +a 22 x 2 +…+a 2n xn =b 2 , (7.1.)

……………………………

am 1 x 1 +am 2 x 2 +…+amn xn =bm

и обращающие в максимум линейную функцию этих переменных:

(7.2.)

Для простоты предположим, что все условия (7.1.) линейно независимы (r =m ), и будем вести рассуждения в этом предположении.

Назовём ДОПУСТИМЫМ решением ОЗЛП всякую совокупность неотрицательных значений x 1 , x 2 , …, xn , удовлетворяющую условиям (7.1.).

ОПТИМАЛЬНЫМ назовём то из допустимых решений, которое обращает в максимум функцию (7.2.).

Требуется найти оптимальное решение. Всегда ли эта задача имеет решение? Нет, не всегда.

1. Может оказаться, что уравнения (7.1.) вообще несовместимы (противоречат друг другу).

2. Может оказаться и так, что они совместимы, но не в области неотрицательных решений, т.е. не существует ни одной совокупности чисел x 1 ³0, x 2 ³0, …, xn ³0, удовлетворяющей условиям (7.1.).

3. Наконец, может быть и так, что допустимые решения ОЗЛП существуют, но среди них нет оптимального: функция L в области допустимых решений не ограничена сверху.

Чтобы представить себе принципиальную сторону ОЗЛП, обратимся к геометрической интерпретации. Пусть число уравнений m на два меньше числа переменных n (n m =k =2). Такой частный случай даёт возможность геометрической интерпретации ОЗЛП на плоскости.

Мы знаем, что n линейно независимых уравнений (7.1.) всегда можно разрешить относительно какихто m базисных переменных, выразив их через остальные, свободные, число которых равно n m =k (в нашем случае k =2). Предположим, что свободные переменные – это x 1 и x 2 (если это не так, то всегда можно заново перенумеровать переменные), а остальные: x 3 , x 4 , …, xn – базисные. Тогда вместо m уравнений (7.1.) мы получим тоже m уравнений, но записанных в другой форме, разрешённых относительно x 3 , x 4 , …;

x 3 =a 31 x 1 +a 32 x 2 +b 3 ,

x 4 =a 41 x 1 +a 42 x

Учебная работа № 1602. План чтения лекции по учебной дисциплине «Математические методы»

Яндекс.Метрика