Учебная работа № 1506. Приближенное вычисление корней в уравнения

Учебная работа № 1506. Приближенное вычисление корней в уравнения

х

Содержание.

1. Приближённое решение уравнений :

1.1 Способ хорд (или способ линейной интерполяции).

1.2 Способ касательных (или способ Ньютона).

1.3 Комбинированный способ (комбинированное применение способов хорд и касательных).

2. Заключение.

3. Список литературы.

Приближённое решение уравнений.

Если квадратные уравнения решали уже древние греки, то способы решения алгебраических уравнений третьей и четвёртой степени были открыты лишь в XVI веке. Эти классические способы дают точные значения корней и выражают их через коэффициенты уравнения при помощи радикалов различных степеней. Однако эти способы приводят к громоздким вычислениям и поэтому имеют малую практическую ценность.

В отношении алгебраических уравнений пятой и высших степеней доказано, что в общем случае их решения не выражаются через коэффициенты при помощи радикалов. Не выражаются в радикалах, например, корни уже такого простого по виду уравнения, как:

х^54х2=0

Сказанное, однако, не означает отсутствия в науке методов решения уравнения высших степеней. Имеется много способов приближенного решения уравнений алгебраических и неалгебраических (или, как их называют, трансцендентных), позволяющих вычислять их корни с любой, заранее заданной степенью точности, что для практических целей вполне достаточно.

На простейших из таких способов мы и остановимся, причём речь будет идти о вычислении действительных корней.

Пусть нужно решить уравнение:

f(x)=0 (1)

Если обратиться к рисунку, то каждый корень уравнения (1) представляет собой абсциссу точки пересечения графика функции y=f(х)

C осью Ох (рисунок №1)

С помощью графика функции или какимнибудь иным способом обычно удаётся установить приблизительные значения корней. Это позволяет для каждого корня получить грубые приближения по недостатку и по избытку. Такого рода грубых приближений во многих случаях оказывается достаточно, чтобы, отправляясь от них, получить все значения корня с требуемой точностью. Об этом и пойдёт речь.

Итак, пусть корень Е уравнения (1) «зажат» между двумя его приближениями а и b по недостатку и по избытку а< E<b . При этом будем предполагать, что f(х), f`(х) ,f«(х) непрерывны на отрезке [ а, b ], причём f`(х) и f«(х) сохраняют знак. Сохранение знака у f`(х) говорит о монотонности f(х) (и, следовательно, f(a) u f(b) имеют разные знаки). Сохранение же знака у f«(х) означает, что выпуклость кривой y=f(х) для всех х отрезка [ а, b ] обращена в одну сторону. На рисунке №2 изображены 4 случая, отвечающих возложенным комбинациям знаков у f`(х) и f«(х) .

Способ хорд (или способ линейной интерполяции).

Проведём хорду АВ (рисунок№3) и за первое приближённое значение корня примем абсциссу x1 точки С пересечения хорды с осью Ох.

Уравнение хорды имеет вид:

yf(a)/f(b)f(a)=xa/ba.

Поэтому в точке С:

f(a)/f(b)f(a)= x1a/ba

откуда:

x1=a (ba)*f(a)/ f(b)f(a)

Рассмотрение всех четырёх случаев, изображённых на рисунке №2, показывает, что точка x1 лежит между a и b с той стороны от Е, где f(х) имеет знак, противоположный знаку f«(х).

Остановим внимание на первом случае: f`(х)>0, f«(х)>0 (рисунок №3), в остальных случаях рассуждение вполне аналогично. В этом первом случае x1 лежит между a и Е. С отрезком [x1, b] поступаем так же, как мы поступаем с отрезком [a, b] (рисунок №4). При этом для нового приближённого значения корня получаем:

x1 = x2(b x1)*f(x1)/f(b)f(x1)

( в формуле (2) заменяем x1 на x2, а на x1 ); значение x2 оказывается между x1 и Е. Рассматриваем отрезок [x2, b] и находим новое приближённое x3, заключённое между x2 и Е и. т. д. В результате получим последовательность а<x1<x2<x3<…<xn<…<E(3), всё более и более точных приближённых значений корня, причём хn+1 через xn выражается формулой:

хn+1= xn(b xn)*f(xn)/f(b)f(xn) (4)

Для оценки погрешности соответсвующих приближений воспользуемся формулой Лагранжа:

f(xn)f(E)=f`(c)*( xnE) (xn<c<E)

или, поскольку

f(E)=0: f(xn)=f`(c)( xnE),

откуда:

xnЕ= f(xn)/ f`(c)

Если обозначить через m наименьшее значение |f`(х)| на рассматриваемом отрезке, то для оценки погрешности получим формулу:

Учебная работа № 1506. Приближенное вычисление корней в уравнения