(6 оценок, среднее: 4,67 из 5)
Загрузка...
Учебная работа № 1418. Операторы в вейвлетном базисе
Белорусский государственный университет
Факультет прикладной математики и информатики
Кафедра математической физики
ГРОМОВА МАРИЯ МИХАЙЛОВНА
ОПРЕАТОРЫ В ВЕЙВЛЕТНОМ БАЗИСЕ
Курсовая работа студентки 4 курса
Научный руководитель:
Глушцов Анатолий Ильич
кафедры МФ
кандидат физ.мат. наук
Минск 2004
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ………..………………………………………………………..3
1. МНОГОМАСШТАБНЫЙ АНАЛИЗ И ВЕЙВЛЕТЫ…………………5
2. БЫСТРОЕ ВЕЙВЛЕТПРЕОБРАЗОВАНИЕ….………………………9
3. ДВУМЕРНЫЕ ВЕЙВЛЕТЫ…………………………………………..12
4. МАТРИЧНЫЕ ОПЕРАЦИИ………………………………………….13
4.1. Матричное умножение…………………………………………13
4.2. Обращение матрицы……………………………………………16
4.3. Вычисление экспоненты, синуса и косинуса от матрицы.….16
ЛИТЕРАТУРА……………………………………………………………18
ВВЕДЕНИЕ
Вейвлетпреобразование сигналов (wavelet transform) , теория которого оформилась в начале 90х годов, является не менее общим по областям своих применений, чем классическое преобразование Фурье. Принцип ортогонального разложения по компактным волнам состоит в возможности независимого анализа функции на разных масштабах ее изменения. Вейвлетпредставление сигналов (функций времени) является промежуточным между полностью спектральным и полностью временным представлениями.
Компактные волны относительно независимо были предложены в квантовой физике, физике электромагнитных явлений, математике, электронике и сейсмогеологии. Междисциплинарные исследования привели к новым приложениям данных методов, в частности, в сжатии образов для архивов и телекоммуникаций, в исследованиях турбулентности, в физиологии зрительной системы, в анализе радарных сигналов и предсказании землетрясений. К сожалению, объем русскоязычной научной литературы по тематике вейвлетпреобразований (да и нейронных сетей) относительно невелик.
Базовая идея восходит к временам 200летней давности и принадлежит Фурье: аппроксимировать сложную функцию взвешенной суммой простых функций, каждая из которых, в свою очередь, получается из одной функциипрототипа. Эта функцияпрототип выполняет роль строительного блока, а искомая аппроксимация получается комбинированием одинаковых по структуре блоков. При этом, если «хорошая» аппроксимация получается при использовании небольшого числа блоков, то тем самым достигается значительное уплотнение информации. В качестве таких блоков Фурье использовал синусоиды с различными периодами.
Что прежде всего отличает вейвлетанализ от анализа Фурье? Основным недостатком Фурьепреобразования является его «глобальная» чувствительность к «локальным» скачкам и пикам функции. При этом модификация коэффициентов Фурье (например, обрезание высоких гармоник с целью фильтрации шума) вносит одинаковые изменения в поведение сигнала на всей области определения. Это особенность оказывается полезной для стационарных сигналов, свойства которых в целом мало меняются со временем.
При исследовании же нестационарных сигналов требуется использование некоторых локализованных во времени компактных волн, коэффициенты разложения по которым сохраняют информацию о дрейфе параметров аппроксимируемой функции. Первые попытки построения таких систем функций сводились к сегментированию сигнала на фрагменты («окна») с применением разложения Фурье для этих фрагментов. Соответствующее преобразование оконное преобразование Фурье было предложено в 194647 годах Jean Ville и, независимо, Dennis Gabor. В 195070х годах разными авторами было опубликовано много модификаций временичастотных представлений сигналов.
В конце 70х инженергеофизик Морли (Jean Morlet) столкнулся с проблемой анализа сигналов, которые характеризовались высокочастотной компонентой в течение короткого промежутка времени и низкочастотными колебаниями при рассмотрении больших временных масштабов. Оконные преобразования позволяли проанализировать либо высокие частоты в коротком окне времени, либо низкочастотную компоненту, но не оба колебания одновременно. В результате был предложен подход, в котором для различных диапазонов частот использовались временные окна различной длительности. Оконные функции получались в результате растяжениясжатия и смещения по времени гаусиана. Морли назвал эти базисные функции вейвлетами (wavelets) компактными волнами. В дальнейшем благодаря работам Мейера (Yves Meyer), Добеши (Ingrid Daubechies), Койфмана (Ronald Coifman), Маллы (Stephane Mallat) и других теория вейвлетов приобрела свое современное состояние.
Среди российских ученых, работавших в области теории вейвлетов, необходимо отметить С.Б. Стечкина, И.Я. Новикова, В.И. Бердышева.
1. МНОГОМАСШТАБНЫЙ АНАЛИЗ И ВЕЙВЛЕТЫ
Определение 1. Многомасштабный анализ ( multiresolutional analysis) – разложение гильбертова пространства L2 ( R d ) , d ³1 , в последовательность замкнутых подпространств
, (1.1)
обладающих следующими свойствами:
1. 
, и 
полно в L2 ( R d ) ,
2. Для любого f Î L2 ( R d ) , для любого j Î Z , f( x) Î Vj тогда и только тогда, когда
f(2 x) Î Vj 1 ,
3. Для любого f Î L2 ( R d ) , для любого k Î Z d , f( x) Î V0 тогда и только тогда, когда f( x k) Î V0 ,
4. Существует масштабирующая ( scaling) функция j Î V0 , что { j( x k)} k Î Z d образует
базис Ритца в V0 .
Для ортонормальных базисов можно переписать свойство 4 в виде:
4’. Существует масштабирующая функция j Î V0 , что { j( x k)} k Î Z d образует ортонормальный базис в V0 .
Определим подпространство Wj как ортогональное дополнение к Vj в Vj 1 ,
, (1.2)
и представим пространство L2 ( R d ) в виде прямой суммы
(1.3)
Выбирая масштаб n , можем заменить последовательность (1.1) следующей последовательностью:
(1.4)
и получить
(1.5)
Если имеем конечное число масштабов, то, не нарушая общности, можно положить j=0 и рассматривать
, V0 Î L2 ( R d ) (1.6)
вместо (1.4). В числовой реализации подпространство V0 конечномерно.
Функция j так называемая масштабирующая (скейлинг) функция. С ее помощью можно определить функциюy вейвлет такую, что набор { y( x k)} k Î Z образует ортонормальный базис в W0 . Тогда
, m=0.. M1 . (1.7)
Из свойства 4’ непосредственно следует, что, вопервых, функция j может быть представлена в виде линейной комбинации базисных функций пространства V1 . Так как функции { j j, k ( x)=2 j/2 j(2 j x k)} k Î Z образуют ортонормальный базис в Vj , то имеем
. (1.8)
Вообще говоря, сумма в выражении (1.8) не обязана быть конечной. Можно переписать (1.8) в виде
, (1.9)
где
, (1.10)
а 2pпериодическая функция m0 определяется следующим образом:
. (1.11)
Вовторых, ортогональность { j(