Учебная работа № 1380. Шар и сфера

1

2. Шар и сфера.

2.1. Шар и шаровая поверхность.

Шаровой или сферической поверхностью называется геометрическое место точек пространст­ва, удаленных от данной точки О (центра) на заданное расстоя­ние R (радиус). Все пространство по отношению к данной ша­ровой поверхности разбивается на внут­реннюю область (куда можно присоеди­нить и точки самой поверхности) и внешнюю. Первая из этих областей назы­вается шаром. Итак, шар — геометрическое место всех точек, удаленных от заданной точки О (центра) на расстоя­ние, не превышающее данной величины R (радиуса). Шаровая поверхность яв­ляется границей, отделяющей шар от ок­ружающего пространства.

Шаровую поверхность и шар можно получить также, вращая окружность (круг) вокруг одного из диаметров.

Рассмотрим окружность с центром О и радиусом R (рис. 1), лежащую в плоско­сти Я. Будем вращать ее вокруг диаметра АВ. Тогда каждая из точек окружности, например М, в свою оче­редь опишет при вращении окружность, имеющую своим центром точку М₀—проекцию вращающейся точки М на ось враще­ния АВ. Плоскость этой окружности перпендикулярна к оси вращения. Радиус ОМ, ведущий из центра исходной окружности в точку М, будет сохранять свою величину во все время вра­щения, и потому точка М все время будет находиться на сфе­рической поверхности с центром О и радиусом R. Шаровая поверхность может быть получена вращением окружности вокруг любого из ее диаметров.

Сам шар как тело получается вращением круга; ясно, что для получения всего шара достаточно вращать полукруг около ограничивающего его диаметра.

2.2. Взаимное расположение шара и плоскости.

Исследуем вопрос о взаимном расположении шара и плоско­сти. Для этого, имея некоторый шар и плоскость , опустим из центра шара перпендикуляр на плоскость. Если основание этого перпендикуляра М₀ окажется вне шара (рис. 2), то остальные точки плоскости и подавно будут лежать вне шара, так как они еще больше удалены от центра, чем основание перпендикуляра. В этом случае плоскость не имеет общих точек с шаром, она его не пересекает. Если основание перпендикуляра окажется на шаровой поверхности (рис. 3), то остальные точки плоскости, как и в предыдущем случае, будут лежать вне шара. Плоскость будет иметь одну общую точку с

поверхностью; такая плоскость называется касательной к шару. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен к касательной плоскости.

Действительно, если плоскость имеет с поверхностью шара един­ственную общую течку, то эта точка ближайшая к центру шара по сравнению с остальными точ­ками плоскости и потому служит основанием перпендикуляра, опущенного из центра шара на плоскость.

Если, наконец, основание пер­пендикуляра М₀ окажется внут­ри шара (рис. 4), то плоскость будет пересекать поверхность шара, так как часть ее окажется внутри шара, а часть — вне. Исследуем линию пересечения такой плоскости с шаровой поверх­ностью. Пусть расстояние ее от центра шара равно d, d<R. Тогда оказывается, что линия пересечения плоскости с поверх­ностью шара является окружностью с центром в точке М₀ и радиусом, равным . Для доказательства проведем через М₀ произвольный луч М₀М, лежащий в секущей пло­скости. Выходя из внутренней области шара во внешнюю, он пересечет поверхность шара в некоторой точке М. Рассмотрим треугольник ОМ₀М с прямым углом при вершине М₀. Катет М₀М по теореме Пифагора будет равен . Впрочем, постоянство длины отрезка независимо от направления луча М₀М в данной плоскости видно и без применения теоремы Пифагора (пользуемся равенством прямоугольных треугольников, имеющих общие катеты и равные гипотенузы). Теперь видно, что все точ­ки пересечения плоскости , с поверхностью шара лежат на од­ной окружности с центром М₀ и радиусом, равным. Напротив, любая точка этой окружности удалена от центра шара на расстояние, равное , и потому лежит на поверхности шара (равно как и в плоскости ) и, значит, принадлежит рассматриваемой линии пересечения. Из этого видно, что линия пересечения полная окружность, а не какаялибо часть ее.

Итак, если длина перпендикуляра, опущенного из центра О шара радиуса R на данную плоскость, равна d, то:

1. при d>R плоскость не пересекает шара;

2. при d = R плоскость касается шара в одной точке, радиус,
   проведенный в точку касания, перпендикулярен к плоскости;

3. при d<R плоскость пересекает шар по окружности, цент­
   ром которой служит основание перпендикуляра, опущенного из

центра шара на плоскость, а радиус равен.

В частности, плоскость, проходящая через центр шара, пере­секает его по окружности максимально возможного радиуса, равного радиусу шара R. Такие сечения шара плоскостями, про­ходящими через его центр, называются большими кругами шара.

Для наглядности вышеизложенного материала я предлагаю решить две небольшие задачи.

Задача 1. Два сечения шара радиуса 10 см параллельны­ми плоскостями имеют радиусы, равные 6 еж и 8 см. Найти расстояние между секущими плоскостями.

Решение. Находим расстояние каждой из параллельных плоскостей до центра шара:

в зависимости от того, лежит ли центр шара между плоскостями или нет, получаем два различных ответа к задаче:

Учебная работа № 1380. Шар и сфера