Учебная работа № 1312. Шпаргалка по математике

Учебная работа № 1312. Шпаргалка по математике

Формулы сокр. умножения и разложения на множители :

(a±b)²=a²±2ab+b²

(a±b)³=a³±3a²b+3ab²±b³

a²b²=(a+b)(ab)

a³±b³=(a±b)(a²∓ab+b²),

(a+b)³=a³+b³+3ab(a+b)

(ab)³=a³b³3ab(ab)

xⁿ aⁿ =(xa)(xⁿ¹ +axⁿ² +a²xⁿ³ +…+aⁿ¹ )

ax²+bx+c=a(xx₁ )(xx₂ )

где x₁ и x₂ — корни уравнения

ax²+bx+c=0

Степени и корни :

a^p ·a^g = a^p+g

a^p :a^g =a ^pg

(a^p )^g =a ^pg

a^p /b^p = (a/b)^p

a^p ×b^p = ab^p

a⁰ =1; a¹ =a

a^p = 1/a

^p Öa =b => b^p =a

^p Öa^p Öb = ^p Öab

Öa ; a = 0

____

/ __ _

^p Ö^g Öa = ^pg Öa

___ __

^pk Öa^gk = ^p Öa^g

_p ____

/ a ^p Öa

/ ¾¾ = ¾¾¾¾

Ö b ^p Öb

a ^1/p = ^p Öa

^p Öa^g = a^g/p

Квадратное уравнение

ax²+bx+c=0; (a¹0)

x_1,2 = (b±ÖD)/2a; D=b² 4ac

D>0® x₁ ¹x₂ ;D=0® x₁ =x₂

D<0, корней нет.

Теорема Виета:

x₁ +x₂ = b/a

x₁ × x₂ = c/a

Приведенное кв. Уравнение:

x² + px+q =0

x₁ +x₂ = p

x₁ ×x₂ = q

Если p=2k (pчетн.)

и x²+2kx+q=0, то x_1,2 = k±Ö(k²q)

Нахождение длинны отрка

по его координатам

Ö((x₂ x₁ )²(y₂ y₁ )²)

Логарифмы:

log_a x = b => a^b = x; a>0,a¹0

a ^{loga x} = x, log_a a =1; log_a 1 = 0

log_a x = b; x = a^b

log_a b = 1/(log _b a)

log_a xy = log_a x + log_a y

log_a x/y = log_a x log_a y

log_a x^k =k log_a x (x >0)

log_a ^k x =1/k log_a x

log_a x = (log_c x)/( log_c a); c>0,c¹1

log_b x = (log_a x)/(log_a b)

Прогрессии

Арифметическая

a_n = a₁ +d(n1)

S_n = ((2a₁ +d(n1))/2)n

Геометрическая

b_n = b_n1 × q

b² _n = b_n1 × b_n+1

b_n = b₁ ×qⁿ¹

S_n = b₁ (1 qⁿ )/(1q)

S= b₁ /(1q)

Тригонометрия.

sin x = a/c

cos x = b/c

tg x = a/b=sinx/cos x

ctg x = b/a = cos x/sin x

sin (pa) = sin a

sin (p/2 a) = cos a

cos (p/2 a) = sin a

cos (a + 2pk) = cos a

sin (a + 2pk) = sin a

tg (a + pk) = tg a

ctg (a + pk) = ctg a

sin²a + cos²a =1

ctg a = cosa / sina , a¹pn, nÎZ

tga× ctga = 1, a¹ (pn)/2, nÎZ

1+tg²a = 1/cos²a , a¹p(2n+1)/2

1+ ctg²a =1/sin²a , a¹pn

Формулы сложения:

sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y

sin (xy) = sin x cos y cos x sin y

cos (x+y) = cos x cos y sin x sin y

cos (xy) = cos x cos y + sin x sin y

tg(x+y) = (tg x + tg y)/ (1tg x tg y )

x, y, x + y ¹p/2 + pn

tg(xy) = (tg x tg y)/ (1+tg x tg y)

x, y, x y ¹p/2 + pn

Формулы двойного аргумента.

sin 2a = 2sin a cos a

cos 2a = cos²a sin²a = 2 cos²a 1 =

= 12 sin²a

tg 2a = (2 tga)/ (1tg²a)

1+ cos a = 2 cos²a/2

1cosa = 2 sin²a/2

tga = (2 tg (a/2))/(1tg²(a/2))

Флы половинного аргумента.

sin²a/2 = (1 cos a)/2

cos²a/2 = (1 + cosa)/2

tg a/2 = sina/(1 + cosa ) = (1cos a)/sin a

a¹p + 2pn, n ÎZ

Флы преобразования суммы в произв.

sin x + sin y = 2 sin ((x+y)/2) cos ((xy)/2)

sin x sin y = 2 cos ((x+y)/2) sin ((xy)/2)

cos x + cos y = 2cos (x+y)/2 cos (xy)/2

cos x cos y = 2sin (x+y)/2 sin (xy)/2

sin (x+y)

tg x + tg y = —————

cos x cos y

sin (x y)

tg x tgy = —————

cos x cos y

Формулы преобр. произв. в сумму

sin x sin y = Ѕ(cos (xy) cos (x+y))

cos x cos y = Ѕ(cos (xy)+ cos (x+y))

sin x cos y = Ѕ(sin (xy)+ sin (x+y))

Соотнош. между фями

sin x = (2 tg x/2)/(1+tg² x/2)

cos x = (1tg² 2/x)/(1+ tg² x/2)

sin2x = (2tgx)/(1+tg² x)

sin²a = 1/(1+ctg²a) = tg²a/(1+tg²a)

cos²a = 1/(1+tg²a) = ctg²a / (1+ctg²a)

ctg2a = (ctg²a1)/ 2ctga

sin3a = 3sina 4sin³a = 3cos²asinasin³a

cos3a = 4cos³a3 cosa=

= cos³a3cosasin²a

tg3a = (3tgatg³a)/(13tg²a)

ctg3a = (ctg³a3ctga)/(3ctg²a1)

sin a/2 = ±Ö((1cosa)/2)

cos a/2 = ±Ö((1+cosa)/2)

tga/2 = ±Ö((1cosa)/(1+cosa))=

sina/(1+cosa)=(1cosa)/sina

ctga/2 = ±Ö((1+cosa)/(1cosa))=

sina/(1cosa)= (1+cosa)/sina

sin(arcsin a) = a

cos( arccos a) = a

tg ( arctg a) = a

ctg ( arcctg a) = a

arcsin (sina) = a ; aÎ [p/2 ; p/2]

arccos(cos a) = a ; aÎ [0 ; p]

arctg (tg a) = a ; aÎ[p/2 ; p/2]

arcctg (ctg a) = a ; aÎ [ 0 ; p]

arcsin(sina)=

1)a 2pk; aÎ[p/2 +2pk;p/2+2pk]

2) (2k+1)p a; aÎ[p/2+2pk;3p/2+2pk]

arccos (cosa) =

1) a2pk ; aÎ[2pk;(2k+1)p]

2) 2pka ; aÎ[(2k1)p; 2pk]

arctg(tga)= apk

aÎ(p/2 +pk;p/2+pk)

arcctg(ctga) = a pk

aÎ(pk; (k+1)p)

arcsina = arcsin (a)= p/2arccosa =

= arctg a/Ö(1a²)

arccosa = parccos(a)=p/2arcsin a=

= arc ctga/Ö(1a²)

arctga =arctg(a) = p/2 arcctga =

= arcsin a/Ö(1+a²)

arc ctg a = parc cctg(a) =

= arc cos a/Ö(1a²)

arctg a = arc ctg1/a =

= arcsin a/Ö(1+a²)= arccos1/Ö(1+a²)

arcsin a + arccos = p/2

arcctg a + arctga = p/2

Тригонометрические уравнения

sin x = m ; |m| = 1

x = (1)ⁿ arcsin m + pk, kÎ Z

sin x =1 sin x = 0

x = p/2 + 2pk x = pk

sin x = 1

x = p/2 + 2 pk

cos x = m; |m| = 1

x = ± arccos m + 2pk

cos x = 1 cos x = 0

x = 2pk x = p/2+pk

cos x = 1

x = p+ 2pk

tg x = m

x = arctg m + pk

ctg x = m

x = arcctg m +pk

sin x/2 = 2t/(1+t² ); t tg

cos x/2 = (1t²)/(1+t²)

Показательные уравнения.

Неравенства: Если a^f(x) >(<) a^а(ч)

1) a>1, то знак не меняеться.

2) a<1, то знак меняется.

Логарифмы : неравенства:

log_a f(x) >(<) log _a j(x)

1. a>1, то : f(x) >0

j(x)>0

f(x)>j(x)

2. 0<a<1, то: f(x) >0

j(x)>0

f(x)<j(x)

3. log _f(x) j(x) = a

ОДЗ: j(x) > 0

f(x) >0

f(x ) ¹ 1

Тригонометрия:

1. Разложение на множители:

sin 2x Ö3 cos x = 0

2sin x cos x Ö3 cos x = 0

cos x(2 sin x Ö3) = 0

….

2. Решения заменой ….

3.

sin² x sin 2x + 3 cos² x =2

sin² x 2 sin x cos x + 3 cos ² x = 2 sin² x + cos² x

Дальше пишеться если sin x = 0, то и cos x = 0,

а такое невозможно, => можно поделить на cos x

Тригонометрические нерва :

sin a³ m

2pk+a₁ =a=a₂ + 2pk

2pk+a₂ =a= (a₁ +2p)+ 2pk

Пример:

I cos (p/8+x) < Ö3/2

pk+ 5p/6< p/8 +x< 7p/6 + 2pk

2pk+ 17p/24 < x< p/24+2pk;;;;

II sin a= 1/2

2pk +5p/6 =a= 13p/6 + 2pk

cos a³(=) m

2pk + a₁ < a< a₂ +2 pk

2pk+a₂ < a< (a₁ +2p) + 2pk

cos a³ Ö2/2

2pk+5p/4 =a= 11p/4 +2pk

tg a³(=) m

pk+ arctg m =a= arctg m + pk

ctg ³(=) m

pk+arcctg m < a< p+pk

Производная:

(xⁿ )^’ = n× xⁿ¹

(a^x )’ = a^x × ln a

(lg a^x )’= 1/(x×ln a)

(sin x)’ = cos x

(cos x)’ = sin x

(tg x)’ = 1/cos² x

(ctg x)’ = 1/sin²x

(arcsin x)’ = 1/ Ö(1x²)

(arccos x)’ = 1/ Ö(1x²)

(arctg x)’ = 1/ Ö(1+x²)

(arcctg x)’ = 1/ Ö(1+x²)

Свва:

(u × v)’ = u’×v + u×v’

(u/v)’ = (u’v uv’)/ v²

Уравнение касательной к граф.

y = f(x₀ )+ f ’(x₀ )(xx₀ )

уравнение к касательной к графику в точке x

1. Найти производную

2. Угловой коофициент k =

= производная в данной точке x

3. Подставим X₀ , f(x₀ ), f ‘ (x₀ ), выразим х

Интегралы :

ò xⁿ dx = xⁿ⁺¹ /(n+1) + c

ò a^x dx = ax/ln a + c

ò e^x dx = e^x + c

ò cos x dx = sin x + cos

ò sin x dx = cos x + c

ò 1/x dx = ln|x| + c

ò 1/cos² x = tg x + c

ò 1/sin² x = ctg x + c

ò 1/Ö(1x²) dx = arcsin x +c

ò 1/Ö(1x²) dx = arccos x +c

ò 1/1+ x² dx = arctg x + c

ò 1/1+ x² dx = arcctg x + c

Площадь криволенейной трапеции.

Геометрия

Треугольники

a + b + g =180

Теорема синусов

a² = b²+c² 2bc cos a

b² = a²+c² 2ac cos b

c² = a² + b² 2ab cos g

Медиана дели треуг. на два равновеликих. Медиана делит

противопол. сторону напополам.

Биссектриса угол.

Высота падает на пр. сторону

под прямым углом.

Формула Герона :

p=Ѕ(a+b+c)

_____________

S = Öp(pa)(pb)(pc)

S = Ѕab sin a

S_{равн .} =(a²Ö3)/4

S = bh/2

S=abc/4R

S=pr

Трапеция.

S = (a+b)/2× h

Круг

S= pR²

S_{сектора} =(pR²a)/360

Стереометрия

Параллепипед

V=S_осн ×Р

Прямоугольный

V=abc

Пирамида

V =1/3S_осн. ×H

S_полн. = S_бок. + S_осн.

Усеченная :

H . _____

V = 3 (S₁ +S₂ +ÖS₁ S₂ )

S₁ и S₂ — площади осн.

S_{полн .} =S_{бок .} +S₁ +S₂

Конус

V=1/3 pR²H

S_бок. =pRl

S_бок. = pR(R+1)

Усеченный

S_бок. = pl(R₁ +R₂ )

V=1/3pH(R₁ ² +R₁ R₂ +R₂ ² )

Призма

V=S_осн. ×H

прямая: S_бок. =P_осн. ×H

S_полн. =S_бок +2S_осн.

наклонная :

S_бок. =P_пс ×a

V = S_пс ×a, а бок. ребро.

P_пс — периметр

S_пс — пл. перпенд. сечения

Цилиндр.

V=pR²H ; S_бок. = 2pRH

S_{полн .} =2pR(H+R)

S_бок. = 2pRH

Сфера и шар .

V = 4/3 pR³ шар

S = 4pR³ сфера

Шаровой сектор

V = 2/3 pR³H

H высота сегм.

Шаровой сегмент

V=pH²(RH/3)

S=2pRH

град

0°

30°

45°

60°

90°

120°

135°

180°

a

p/2

p/3

p/4

p/6

0

p/6

p/4

p/3

p/2

2p/3

3p/4

3p/6

p

sina

1

Ö3/2

Ö2/2

Ѕ

0

Ѕ

Ö2/2

Ö3/2

1

Ѕ

0

cosa

1

Ö3/2

Ö2/2

Ѕ

0

Ѕ

Ö2/2

Ö3/2

1

tga

Ï

Ö3

1

1/Ö3

0

1/Ö3

1

Ö3

Î

Ö3

1

0

ctga

Ö3

1

1/Ö3

0

1/Ö3

1

n	2	3	4	5	6	7	8	9
2	4	9	16	25	36	49	64	81
3	8	27	64	125	216	343	512	729
4	16	81	256	625	1296	2401	4096	6561
5	32	243	1024	3125	7776	16807	32768	59049
6	64	729	4096	15625	46656
7	128	2181
8	256	6561

a	pa	p+a	p/2a	p/2+a	3p/2 a	3p/2+a
sin	sina	sina	sina	cosa	cosa	cosa	cosa
cos	cosa	cosa	cosa	sina	sina	sina	sina
tg	tga	tga	tga	ctga	ctga	ctga	ctga
ctg	ctga	ctga	ctga	tga	tga	tga	tga

Учебная работа № 1312. Шпаргалка по математике