Учебная работа № 1309. Ряды и интеграл Фурье
ГЛАВА 1
РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
Основные сведения
Функция f (x ), определенная на всей числовой оси называется периодической , если существует такое число , что при любом значении х выполняется равенство
. Число Т называется периодом функции.
Отметим некоторые с в о й с т в а этой функции:
1) Сумма, разность, произведение и частное периодических функций периода Т есть периодическая функция периода Т .
2) Если функция f (x ) период Т , то функция f (ax )имеет период .
3) Если f (x ) периодическая функция периода Т , то равны любые два интеграла от этой функции, взятые по промежуткам длины Т (при этом интеграл существует), т. е. при любых a и b справедливо равенство .
Тригонометрический ряд. Ряд Фурье
Если f (x ) разлагается на отрезке в равномерно сходящийся тригонометрический ряд:
,то это разложение единственное и коэффициенты определяются по формулам:
Тригонометрический ряд (1) рассмотренного вида с коэффициентами называется тригонометрическим рядом Фурье , а
Достаточные признаки разложимости функции в ряд Фурье
Точка
ТЕОРЕМА 1 (Дирихле). Если
ТЕОРЕМА 2. Если f (x ) периодическая функция с периодом
Ряды Фурье для четных и нечетных функций
Пусть f (x ) четная функция с периодом 2L , удовлетворяющая условию f (x ) = f (x ) .
Тогда для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы:
Таким образом, в ряде Фурье для четной функции отсутствуют члены с синусами, и ряд Фурье для четной функции с периодом 2L выглядит так:
Пусть теперь f (x ) нечетная функция с периодом 2L , удовлетворяющая условию f (x ) = f (x ).
Тогда для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы:
Таким образом, в ряде Фурье для нечетной функции отсутствует свободный член и члены с косинусами, и ряд Фурье для нечетной функции с периодом 2L выглядит так:
Если функция f (x ) разлагается в тригонометрический ряд Фурье на промежутке
, где
Если f (x ) разлагается в тригонометрический ряд Фурье на [0,L ], то доопределив заданную функцию f (x ) соответствующим образом на [L, 0]; далее периодически продолжив на (T =2L ), получим новую функцию, которую разлагаем в тригонометрический ряд Фурье.
Для разложения в ряд Фурье непериодической функции, заданной на конечном произвольном промежутке [a ,b ], надо : доопределить на [b ,a +2L ] и периодически продолжить, либо доопределить на [b 2L ,a ] и периодически продолжить.
Ряд Фурье по любой ортогональной системе функций
Последовательность функций
Система называется ортогональной и нормированной (ортонормированной) на отрезке [a,b],
если выполняется условие
Пусть теперь f (x ) любая функция непрерывная на отрезке [a ,b ]. Рядом Фурье такой функции f (x ) на отрезке [a ,b ] по ортогональной системе называется ряд:
коэффициенты которого определяются равенством:
Если ортогональная система функций на отрезке [a ,b ] ортонормированная, то в этом случаи
Пусть теперь f (x ) любая функция, непрерывная или имеющая конечное число точек разрыва первого рода на отрезке [a ,b ]. Рядом Фурье такой функции f (x ) на томже отрезке
по ортогональной системе называется ряд:
Если ряд Фурье функции f (x ) по системе (1) сходится к функции f (x ) в каждой ее точке непрерывности, принадлежащей отрезку [a ,b ]. В этом случае говорят что f (x ) на отрезке [a ,b ] разлагается в ряд по ортогональной системе (1).
Комплексная форма ряда Фурье
Выражение
Переход от ряда Фурье в комплексной форме к ряду в действительной форме и обратно осуществляется с помощью формул:
Задача о колебании струны
Пусть в состоянии равновесия натянута струна длинной l с концами x= 0 и x =l . Предположим, что струна выведена из состояния равновесия и совершает свободные колебания. Будем рассматривать малые колебания струны, происходящие в вертикальной плоскости.
При сделанных выше допущениях можно показать, что функция u (x,t ) , характеризующая положение струны в каждый момент времени t, удовлетворяет уравнению
Наша з а д а ч а найти функцию u (x,t ) , график которой дает форму струны в любой момент времени t , т. е. найти решение уравнения (1) при граничных:
и начальных условиях:
Сначала будем искать решения уравнения (1), удовлетворяющие граничным условиям(2). Нетрудно увидеть, что u (x ,t )
Подстановка выражения (4) в уравнение (1) дает:
Из которого наша задача сводится к отысканию решений уравнений:
Используя это условие X (0)=0, X (l )=0, докажем, что
a) Пусть
откуда
б) Пусть
получим
в)
Уравнения имеют корни :
получим:
где
откуда
Учитывая это, можно записать:
и, следовательно
но так как A и B разные для различных значений n то имеем
где
Итак, подчиним функцию u (x,t ) начальным условиям, т. е. подберем
Эти равенства являются соответственно разложениями функций
где
Интеграл Фурье
Достаточные условия представимости функции в интеграл Фурье.
Для того, чтобы f (x ) была представлена интегралом Фурье во всех точках непрерывности и правильных точках разрыва, достаточно:
1) абсолютной интегрируемости на
2) на любом конечном отрезке [L , L ] функция была бы кусочногладкой
3) в точках разрыва функции, ее интеграл Фурье определяется полусуммой левого и правого пределов в этих точках, а в точках непрерывности к самой функции f (x )
Интегралом Фурье функции f(x) называется интеграл вида:
, где
Интеграл Фурье для четной и нечетной функции
Пусть f (x )четная функция, удовлетворяющая условиям представимости интегралом Фурье.
Учитывая, что
Таким образом, интеграл Фурье четной функции f (x ) запишется так:
где a (u ) определяется равенством (3).
Рассуждая аналогично, получим, для нечетной функции f (x ) :
и, следовательно, интеграл Фурье нечетной функции имеет вид:
где b (u ) определяется равенством (4).
Комплексная форма интеграла Фурье
где
Выражение в форме (5) является комплексной формой интеграла Фурье для функции f (x ).
Если в формуле (5) заменить c (u ) его выражением, то получим:
Фуpье в комплексной форме. Переход от интеграла Фурье в комплексной форме к интегралу
в действительной форме и обратно осуществим с помощью формул:
Формулы дискретного преобразования Фурье
Обратное преобразование Фурье.
где n =1,2,… , k =1,2,…
Дискретным преобразованием Фурье называется N мерный вектор
при этом,
ГЛАВА 2
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Разложение функций в тригонометрический ряд Фурье
Исходные данные :
Функция периодическая с периодом
Сумма ряда в точках функции сходится к значению самой функции, а в точках разрыва к величине
Рис. 1
Производная также непрерывна везде, кроме конечного числа точек разрыва первого рода. Вывод: функция удовлетворяет условию разложения в ряд Фурье.
1) F(x) кусочнонепрерывна на интервале
2) F(x) кусочномонотонна.
Так как отсутствует симметрия относительно OY, а также центральная симметрия то рассматриваемая функция произвольна.
Представление функции рядом Фурье.
Из разложения видим, что при n нечетном
Поэтому формулу для
( так как
Отдельно рассмотрим случай когда n=1:
Подставим найденные коэффициенты в
и вообще
Найдем первые пять гармоник для найденного ряда:
1ая гармоника
2ая гармоника
3ая гармоника
4ая гармоника
5ая гармоника
и общий график F(x), сумма выше перечисленных гармоник. и сами гармоники.
Запишем комплексную форму полученного ряда
Для рассматриваемого ряда получаем коэффициенты (см. теорию)
но при
и случай когда n =1:
И вообще комплексная форма:
или
или