Учебная работа № 1290. Группы преобразований

Учебная работа № 1290. Группы преобразований

1.Перемещения

Пусть X множество всех точек прямой , плоскости или трехмерного пространства . Обозначим через d(P, Q) расстояние между точками P и Q множества X. Отображение f: X ® X f(P) = Pназывается перемещением , если для всех P и Q d(P, Q) = d(P, Q).

Примеры.

1. Пусть в выбрана правая декартова прямоугольная система координат (x, y) с началом О. Поворот плоскости на угол j вокруг точки О задается формулами R = R . Здесь R = , R = . Очевидно, поворот является перемещением плоскости.

Отметим, что (О) =О, то есть точка О остается неподвижной при повороте. Аналогично, в можно рассмотреть поворот на угол j вокруг оси, заданной единичным вектором v и точкой О. Легко проверить, что это перемещение задается формулой: R =R cosj + (R ´ v )sinj +v (1cosj)(R × v) . Все точки оси поворота являются неподвижными.

2. Перемещением будет и параллельный перенос на вектор v , Очевидно,

R = R + v . Неподвижных точек перенос не имеет.

3. Пусть l некоторая прямая в . (Зеркальное) отражение относительно этой прямой является перемещением. Если в декартовой прямоугольной системе координат уравнение прямой имеет вид y = tg(j/2) x , то отражение задается формулой : R = R . Аналогично, если p некоторая плоскость в , то отражение относительно этой плоскости будет перемещением. Если n единичный вектор нормали к плоскости p , проходящей через начало координат, то R = R 2(R × n )n .

Переносы и отражения (примеры 2 и 3) можно рассматривать и в .

4. Композиция U*V (последовательное выполнение ) двух перемещений U и V снова будет перемещением: (U*V)(P) = U(V(P)). Например, = * = I тождественное перемещение.

2. Связь с линейными операторами.

Теорема 1

Пусть f: X ® X перемещение, A, B, C, D точки X, f(A) = Aи т.д. Если AB = CD (как свободные векторы), то A B = C D .

Доказательство.

Достаточно проверить, что в условиях теоремы четырехугольник ABDC является параллелограммом. Пусть О точка пересечения диагоналей AD и BC.Принадлежность точки О отрезку АD равносильно равенству: d(A, O) + d(O, D) = d(A, D). Поскольку для образов этих точек имеет место аналогичное равенство d(A , O) + d(O, D) = d(A , D) , мы видим, что O лежит на отрезке ADи делит его пополам, поскольку d(A , O) = d(A ,O) = 1/2 d(A ,D) = 1/2 d(A , D) . Аналогично, O лежит на CD и делит его пополам. Следовательно, ABDC параллелограмм.

Из теоремы 1 следует, что если пространство свободных векторов, то для всякого перемещения f: X ® X определено отображение: f*: V ® V.

Отметим, что если О некоторая фиксированная точка X, то для любой точки P точка f(P) получается из Oпереносом на вектор f*(OP ). Отсюда вытекает, что перемещение f однозначно определяется отображением f* и точкой O .

Теорема 2.

Отображение f* является линейным оператором в V и сохраняет скалярное произведение.

Доказательство.

Свойство f*(u + v ) = f*(u ) +f*(v ) следует из определения сложения векторов : если u = AB , v = BC , то u + v = AC . Так как при перемещении любой треугольник ABC переходит в равный треугольник, то сохраняются не только длины, но и углы между векторами, а значит и скалярное произведение. Наконец, использую сохранение скалярного произведения, имеем: = 2+ = 2+ =0. Следовательно, f*(lv) = lf*(v ) , то есть отображение f* линейно.

Следствие

Отображение евклидова пространства V, обладающее свойством является линейным оператором и сохраняет скалярное произведение.

Как известно, оператор в конечномерном пространстве определяется своей матрицей. Матрица A оператора, сохраняющего скалярное произведение, называется ортогональной и имеет следующие свойства:

1. Матрица А невырождена, более того det(A) = 1. Операторы с определителем 1 сохраняют ориентацию пространства, а с определителем (1) меняют ее на противоположную.

2. Все собственные значения A комплексные числа по модулю равные 1.

Кроме того, известны простейшие формы ортогональных матриц в ортонормированном правом базисе. Эти простейшие формы указаны в следующей таблице:

dimV	det(A) = 1	Название	det(A) = 1	Название
1	I= (1)	Тождественный оператор	s = (1)	Отражение
2	=

Учебная работа № 1290. Группы преобразований