Учебная работа № 1282. Оператор сдвига
Тема для написания дипломной работы была выбрана не случайно. Теория линейных операторов – это интересная и важная область, которая позволяет не только активно применять уже имеющиеся знания по анализу, но и узнать много нового.
В данной работе рассматриваются линейные операторы одностороннего и двустороннего сдвига. Вводятся основные понятия: спектр, резольвента, спектральный радиус оператора. Рассматриваются задачи, в ходе решения которых выясняются некоторые свойства спектров операторов сдвига. Определяется класс взвешенных сдвигов, выводится соотношение для нормы и спектрального радиуса оператора взвешенного сдвига.
Известно, что если рассматривать поле действительных чисел при условии, что аксиома Архимеда не выполняется, то получим новое, расширенное поле, в котором существуют бесконечно большие и бесконечно малые элементы. На основании этого расширения можно построить весь математический анализ – нестандартный анализ.
Естественно, часть основных понятий и свойств линейных операторов было бы интересно определить и доказать и в нестандартном анализе, что и было сделано в работе.
В частности, был установлен следующий факт: хотя стандартный оператор сдвига не имеет собственных векторов, но его нестандартное расширение имеет «почти собственные» векторы, т. е. векторы, в определенном смысле бесконечно близкие к собственным.
Часть 1. Оператор сдвига в гильбертовом пространстве
§1. Основные понятия и факты теории линейных операторов
1. Определение и примеры линейных операторов
Пусть Е и Е1 – два линейных нормированных пространства над полем комплексных чисел. Линейным оператором, действующим из Е в Е1 называется отображение (
удовлетворяющее условию
для всех
.
Совокупность DA всех тех , для которых отображение А определено, называется областью определения оператора А; вообще говоря, не предполагается, что DA=E , однако мы всегда будем считать, что DA есть линейное многообразие, то есть, если х,у
DA , то и
Определение 1. Оператор
Поскольку Е и Е1 – нормированные пространства, то это определение равносильно следующему: оператор А называется непрерывным, если выполняется следующее условие:
Примеры линейных операторов
Пусть А – линейный оператор, отображающий nмерное пространство Rn c базисом е1, …, еn в mмерное пространство Rm с базисом f1, …,fm . Если х – произвольный вектор из Rn , то
Таким образом, оператор А задан, если известно, в какие элементы он переводит базисные векторы е1,…, еn . Рассмотрим разложение вектора Аеi по базису f1, …, fm . Имеем
Рассмотрим гильбертово пространство Н и в нем некоторое подпространство Н1 . Разложив Н в прямую сумму подпространства Н1 и его ортогонального дополнения, т.е. представив каждый элемент
Рассмотрим в пространстве
где k(s,t) – некоторая фиксированная непрерывная функция двух переменных. Функция
Тот же оператор можно рассмотреть на множестве непрерывных функций С2[a,b] с нормой
4. Один из важнейших для анализа примеров линейных операторов – оператор дифференцирования. Его можно рассматривать в пространстве C[a,b] : Df(t) =
Оператор дифференцирования можно рассматривать как оператор, действующий из пространства D1 непрерывно дифференцируемых функций на [a,b] с нормой
Рассмотрение оператора дифференцирования как оператора, действующего из D1 в С[a,b], не вполне удобно, так как, хотя при этом мы и получаем непрерывный оператор, определенный на всем пространстве, но не к любой функции из D1 можно применять этот оператор дважды. Удобнее рассматривать оператор дифференцирования в еще более узком пространстве, чем D1 , а именно в пространстве
2. Ограниченность и норма линейного оператора
Определение 2. Линейный оператор, действующий из Е в Е1, называется ограниченным, если он определен на всем Е и каждое ограниченное множество переводит снова в ограниченное. Между непрерывностью и ограниченностью линейного оператора существует тесная связь, т.е. справедливы следующие утверждения:
Теорема 1. Для того, чтобы линейный оператор
1. Пусть оператор А неограничен. Тогда существует М
2. Если оператор А не непрерывен в точке 0, то в Е1 существует такая последовательность
Если Е и Е1 – нормированные пространства, то условие ограниченности оператора А, действующего из Е в Е1, можно сформулировать так: оператор А называется ограниченным, если он переводит любой шар в ограниченное множество.
В силу линейности оператора А это условие можно сформулировать так: оператор А ограничен, если существует С=const , что для любого
Определение 3. Наименьшее из чисел С, удовлетворяющих этому неравенству, называется нормой оператора А и обозначается
Теорема 2 [1]. Для любого ограниченного оператора А , действующего из нормированного пространства в нормированное
3. Сумма и произведение линейных операторов. Пространство линейных непрерывных операторов
Определение 4. Пусть А и В – два линейных оператора, действующих из линейного топологического пространства Е в пространство Е1. Назовем их суммой А+В оператор С, ставящий в соответствие элементу
Можно проверить, что С=А+В – линейный оператор, непрерывный, если А и В непрерывны. Область определения DC оператора С есть пересечение
Если Е и Е1 – нормированные пространства, а операторы А и В ограничены, то С тоже ограничен, причем
Действительно, для любых х
Определение 5. Пусть А и В – линейные операторы, причем А действует из Е в Е1, а В действует из Е1 в Е2 . Произведением ВА операторов А и В называется оператор С, ставящий в соответствие элементу
Область определения DC оператора С=ВА состоит из тех х
Если А и В – ограниченные операторы, действующие в нормированных пространствах, то и оператор С=ВА – ограничен, причем
Действительно,
Сумма и произведение трех и более операторов определяются последовательно. Обе эти операции ассоциативны.
Произведение оператора А на число к (обозначается кА) определяется как оператор, который элементу х ставит в соответствие элемент кАх.
Совокупность Z(E,E1) всех непрерывных линейных операторов, определенных на всем Е и отображающих Е в Е1 ( где Е и Е1
4. Обратный оператор
Пусть А – линейный оператор, действующий из Е в Е1 , и DA область определения, а RA – область значений этого оператора.
Определение 6. Оператор А называется обратимым, если для любого у
Если А обратим, то любому элементу у
Теорема 3 [1]. Оператор А1, обратный линейному оператору А, также линеен.
Доказательство.
Достаточно проверить выполнение равенства
Положим Ах1=у1 и Ах2=у2, в силу линейности А имеем
По определению обратного оператора А1у1=х1 и