Учебная работа № 1280. Некоторые Теоремы Штурма

Учебная работа № 1280. Некоторые Теоремы Штурма

Быков В.В. bikov@rambler.ru

Содержание

…………………………………………………………………………………………3

§1. Предварительные сведения……………………………………5

§2. Основные факты………………………………………………………………8

§3. Теоремы Штурма……………………………………………………………18

Использованная литература…………………………………………27

Тема дипломной работы “Теорема Штурма”, связана с именем французского математика Жака Шарля Франсуа Штурма.

Штурм Жак Шарль Франсуа (Sturm J. Ch. F. – правильное произношение: Стюрм), родился 29 сентября 1803 года в Женеве. Был членом Парижской академии наук с 1836, а также иностранным членом – корреспондентом Петербургской академии наук с того же года. С 1840 года был профессором Политехнической школы в Париже.

Штурм (1824/25) и Раабе (1827) ввели главные формулы сферической тригонометрии при помощи пространственных координат.

Теорему Фурье ( Теорема о числе действительных корней между двумя данными пределами ), математика Жозефа Фурье (Joseph Fourier, 17681830), затмила более общая теорема, опубликованная Штурмом в Bull. mathem., 1829. Доказательство сам Штурм представил только в одной премированной работе 1835г. Коши Огюстен (Cauchy Augustin, 17891857) распространил теорему Штурма на комплексные корни (1831). Дополнение к ней дал также Сильвестр Джемс Джозеф (Sylvester Y.Y., 18141897) в 1839 году и позже.

Основные работы Жана Шарля Штурма относятся к решению краевых задач уравнений математической физики и связанной с этим задачей о разыскивании собственных значений и собственных функций для обыкновенных дифференциальных уравнений. (Задача ШтурмаЛиувилля, о нахождении отличных от нуля решений дифференциальных уравнений :

(p(t)u¢)¢+q(t)u=lu,

удовлетворяющих граничным условиям вида:

А₁ u(a)+B₁ u¢(a)=0,

A₂ u(b)+B₂ u¢(b)=0,

(так называемых собственных функций), а также о нахождении значений параметра l (собственных значений), при которых существуют такие решения. При некоторых условиях на коэффициенты p(t), q(t) задача ШтурмаЛиувилля сводилась к рассмотрению аналогичной задачи для уравнения вида: u¢¢+q(x)u=lu).

Эта задача была впервые исследована Штурмом и Жозефом Лиувиллем (Joseph Liouville, 18091882) в 1837г. и закончена в 1841 г.

Также Жак Штурм дал общий метод для определения числа корней алгебраических уравнений, лежащих на заданном отрезке, названный правилом Штурма, который позволяет находить непересекающиеся интервалы, содержащие каждый по одному действительному корню данного алгебраического многочлена с действительными коэффициентами (уже упоминалось выше).

Ему принадлежат ряд работ по оптике и механике.

Штурм Жак Шарль Франсуа умер 18 декабря 1855года.

§ 1. Предварительные сведения

Среди дифференциальных уравнений, наиболее часто исполь­зуемых в математике и физике, следует выделить линейное уравне­ние второго порядка, имеющее вид

u»+ g(t)u’ + f(t)u=h(t) (1.1)

или

(р (t) и’)’ + q (f) и = h(t) . (1.2)

Как правило, если не оговорено противное, предполагается, что функции (t), g (f), h (f) и р (f) ¹0, q (t), входящие в эти урав­нения, являются непрерывными (вещественными или комплекс­ными) на некотором t интервале J , который может быть как огра­ниченным, так и неограниченным. Причина, по которой предпола­гается, что р(t)¹ 0, скоро станет ясной.

Из двух выражений (1.1) и (1.2) последнее является более общим, поскольку уравнение (1.1) может быть записано в виде

(p(t) и’)’ + р(t) f(t)u= р (t) h (t), (1.3)

если определить p(t) следующим образом:

(1.4)

при некотором a€J. Частичное обращение этого утверждения также верно, поскольку если функция р(t) непрерывно дифференци­руема, уравнение (1.2) можно записать в виде

,

а это уравнение имеет вид (1.1).

В случае, если функция р (t) непрерывна, но не имеет непрерыв­ной производной, уравнение (1.2) не может быть записано в виде (1.1). Тогда уравнение (1.2) можно интерпретировать как линейную систему из двух уравнений первого порядка для неизвестного двумерного вектора :

, . (1.5)

Другими словами, решение и = и (t) уравнения (1.2) должно быть такой непрерывно дифференцируемой функцией, что функция р(t) u'(t) имеет непрерывную производную, удовлетворяющую (1.2). Если р(t) ¹ 0 и q(t), h(t) непрерывны, к системе (1.5), а потому и к уравнению (1.2) применимы стандартные теоремы существования и единственности для линейных систем (Мы можем рассматривать также более общие (т. е. менее гладкие) типы решений, если предполагать, например, только, что функции 1/p(t), q (t), h (t) локально интегрируемы.)

Частному случаю уравнения (1.2) при соответствует уравнение

и» + q(t) u = h(t). (1.6)

Если функция принимает вещественные значения, урав­нение (1.2) может быть приведено к такому виду с помощью замены независимых переменных

, т.е. (1.7)

при некотором a € J. Функция s = s (t) имеет производную и потому строго монотонна. Следовательно, функция s = s (t) имеет обратную t= t (s), определенную на некотором sинтервале. После введения новой независимой переменной s урав­нение (1.2) переходит в уравнение

(1.8)

где аргумент t выражений p(f)q(t) и p(t) h(f) должен быть заме­нен функцией t = t(s). Уравнение (1.8) является уравнением типа (1.6).

Если функция g (t) имеет непрерывную производную, то урав­нение (1.1) может быть приведено к виду (1.6) с помощью замены неизвестной функции и на z :

(1.9)

при некотором a € J. В самом деле, подстановка (1.9) в (1.1) приводит к уравнению

(1.10)

которое имеет вид (1.6).

В силу сказанного выше, мы можем считать, что рассмат­риваемые уравнения второго порядка в общем случае имеют вид (1.2) или (1.6). Утверждения, содержащиеся в следующих упраж­нениях, будут часто использоваться в дальнейшем.

§ 2. Основные факты

Прежде чем перейти к рассмотрению специальных вопросов, мы получим следствия, касающиеся однородного и неоднородного уравнений

(2.1)

(2.2)

Для этого перепишем скалярные уравнения (2.1) или (2.2) в виде системы двух уравнений

(2.3)

(2.4)

где векторы х= (х¹ , х² ), у == (у¹ , y² ) совпадают с векторами , , A(t) матрица второго порядка:

(2.5)

Если не оговорено противное, то предполагается, что , q (t), h (t) и другие коэффициенты являются непрерывными ком­плексными функциями на t интервале J (который может быть зам­кнутым или незамкнутым, ограниченным или неограниченным).

(i) Если и , произвольные комплексные числа, то задача Коши для уравнения (2.2)

, (2.6)

имеет единственное решение, существующее при всех , см. лемму IV. 1.1.

(ii) В частном случае (2.1) уравнения (2.2) и при соответствующим единственным решением служит функция . Поэтому, если есть решение уравнения (2.1), то нули функции и (t) не могут иметь предельной точки в J.

(iii) Принцип суперпозиции. Если , решения урав­нения (2.1), a , постоянные, то функция является решением уравнения (2.1). Если решение урав­нения (2.2), то функция также является решением уравнения (2.2) тогда и только тогда, когда функция удовлетворяет уравнению (2.1).

(iv) Если , решения уравнения (2.1), то соответ­ствующие векторные решения системы (2.3) , линейно независимы (в каждой точке t ) тогда и только тогда, когда функции , линейно

независимы в том смысле, что равенство , где и постоянные, влечет за собой .

(v) Если , решения уравнения (2.1), то существует постоянная с, зависящая от и (t) и v (t) и такая, что для их врон­скиана W (t) = W (t; и, v) выполняется тождество

.(2.7)

Поскольку матричным решением системы (2.3) является

,

detX(t)=p(t)W(t) и trA(t )=0.

(vi) Тождество Лагранжа. Рассмотрим пару уравнений

, , (2.8)

где f=f(t), g =g (t) непрерывные функции на J. Если умножить второе уравнение на и, первоена v и результаты вычесть, мы получим, что

, (2.9)

так как . Соотношение (2.9) назы­вается тождеством Лагранжа. Его интегральная форма

(2.10)

где , называется формулой Грина.

(vii) В частности, из (v) следует, что и(t) и v(t) линейно независимые решения уравнения (2.1) тогда и только тогда, когда в (2.7) . В этом случае всякое решение уравнения (2.1) является линейной комбинацией функций и(t) и v (t ) с посто­янными коэффициентами.

(viii) Если (например, ), то вронскиан любой пары решений и(t), v(t) уравнения (2.1) равен постоянной .

(ix) В соответствии с результатами общей теории, в случае, когда известно одно решение уравне­ния (2.1), отыскание других решений v(t) этого уравнения (по край­ней мере локально) сводится к решению некоторого скалярного дифференциального уравнения первого порядка. Если на подинтервале , этим уравнением служит уравнение (2.7), где и известная функция, а v искомая. Если поделить (2.7) на , то это уравнение запишется в виде

, (2.11)

а после интегрирования мы будем иметь

, (2.12)

где а, . Легко проверить, что если , произвольные постоянные и а, , то функция (2.12) является решением уравнения (2.1), удовлетворяющим (2.7) на любом интервале J’, где .

(х) Пусть и(t), v(t) решения уравнения (2.1), удовлетворяю­щие (2.7) с . При фиксированном решением уравнения (2.1), удовлетворяющим начальным условиям и (s) = 0, p(s)u'(s) = 1, является . Поэтому решением урав­нения (2.2), удовлетворяющим условиям , слу­жит функция

; (2.13)

(проще проверить это непосредственно). Общее решение уравнения (2.2) получается прибавлением к (2.13) общего решения уравнения (2.1), что дает

. (2.14)

Если замкнутый ограниченный интервал [a,b] содержится в J, то, полагая

, ,

мы получаем из (2.14) частное решение

.(2.15)

Оно может быть записано в виде

, (2.16)

где

(2.17)

матрица С (t) зависит от , но не зависит от их про­изводных. В этом случае уравнение (2.1) и эквивалентная ему система (2.3) сводятся к системе

. (2.28)

(xii) Если известно частное решение уравнения (2.27), не равное нулю на J, то мы можем определить линейно независимые решения с помощью квадратур (см. (ix)) и затем найти матрицу, вхо­дящую в (2.28). В действительности, тот же результат можно полу­чить более прямым путем. Пусть уравнение (2.27) имеет решение на интервале J . Заменим неизвестную функцию и в (2.1) на z , так что

. (2.29)

Функция z удовлетворяет дифференциальному уравнению

.

Умножая его на , мы получаем, что

(2.30)

или, в силу (2.27), что

, (2.31)

т. е. подстановка (2.29) приводит уравнение (2.1) к (2.30) или к (2.31). Мы могли также начинать не с решения дифферен­циального уравнения (2.27), а с функции , имеющей непрерывную производную и такой, что непрерыв­но дифференцируема. При этом определяется равенством (2.27), так что . Подстановка (2.29) будет назы­ваться также вариацией постоянных.

(xiii) Подстановка Лиувилля. В качестве частного случая рас­смотрим (2.1) с р (t) = 1:

и» + q (t) и = 0. (2.32)

Предположим, что функция q (t) имеет непрерывную производную второго порядка, вещественна и не равна нулю, так что

±q (t) > 0, где ± = sgn q (t) (2.33)

не зависит от t. Рассмотрим вариацию постоянных

. (2.34)

Тогда (2.32) сводится к (2.30), где , т. е. к уравнению

(2.35)

Замена независимых переменных , определенная соотношением

, (2.36)

переводит (2.35) в уравнение

(2.37)

где

(2.38)

а аргументом функции q и ее производных служит функция t = t (s), обратная к функции s = s (f), определяемой из (2.36) с помощью квадратуры; см. (1.7). В этих формулах штрих означает дифферен­цирование по t , так что q’ = dqldt.

Замена переменных (2.34), (2.36) называется подстановкой Лиувилля. Эта подстановка, или повторное применение ее, часто приводит к дифференциальному уравнению типа (2.37), в котором функция f (s) «близка» к постоянной. Простой предель­ный случай такой подстановки см. в упр. 1.1(с).

(xiv) Уравнения Риккати. В п. (xi), (xii) и (xiii) рассматривались преобразования уравнения (2.1) в различные линейные уравнения второго порядка или в соответствующие линейные системы двух уравнений первого порядка. Иногда удобно преобразовать (2.1) в соответствующее нелинейное уравнение или систему. Для этого чаще всего используется следующий метод. Пусть

, (2.39)

так что . Тогда после деления (2.1) на и результат можно записать в виде

. (2.40)

Это уравнение называется уравнением Риккати , соответствующим (2.1). (В общем случае уравнение вида , где правая часть является квадратичным полиномом от г, называется дифференциальным уравнением Риккати.)

Читателю предоставляется проверка того факта, что если и (t) решение уравнения (2.1), не равное нулю на t интервале , то функция (2.39) является решением уравнения (2.40) на J’; обрат­но, если решение уравнения (2.40) на t интервале , то, интегрируя (2.39), мы получаем решение

(2.41)

уравнения (2.1), не равное нулю ни в одной точке из J’.

(xv) Преобразование Прюфера. В случае, когда уравнение (2.1) имеет вещественные коэффициенты, часто используется следующее преобразование . Пусть вещественное решение уравнения 2.1, и пусть

.

Поскольку и и и’ не могут обратиться в нуль одновременно, то, фиксируя соответствующее значение функции в некоторой точке , мы определяем с помощью второго из равенств (2.42) непре­рывно дифференцируемую функцию . Соотношения (2.42) пере­водят уравнение (2.1) в систему

, (2.43)

(2.44)

В уравнение (2.43) входит лишь одна из неизвестных функций . Если решение уравнения (2.43) известно, то соответствую­щее решение уравнения (2.44) может быть найдено с помощью квадратуры.

Преимущество уравнения (2.43) по сравнению с (2.40) состоит в том, что всякое решение уравнения (2.43) существует на всем интервале J, где непрерывны р и q. Это видно из соотношения, свя­зывающего решения уравнений (2.1) и (2.43).

Упражнение 2.1 . Проверьте, что если функция непре­рывна на J и имеет локально ограниченную вариацию (т. е. имеет ограниченную вариацию на всех замкнутых ограниченных подинтервалах из J) и если вещественное решение уравнения (2.1), то равенства

(2.45)

при фиксированном значении

Учебная работа № 1280. Некоторые Теоремы Штурма