Учебная работа № 1256. Математический анализ

Учебная работа № 1256. Математический анализ

ГЛАВА#1.МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.

§1 ПОНЯТИЕ ОКРЕСТНОСТИ,БЕСКОНЕЧНО МАЛОГО,ПРЕДЕЛА,

НЕПРЕРЫВНОСТИ ФУНКЦИИ.

ОКРЕСТНОСТЬЮ ТОЧКИ Хо называется любой интервал,содержащий

эту точку.

ПРОКОЛОТОЙ ОКРЕСТНОСТЬЮ т.Хо называется окрестность т.Хо,

из которой выброшена сама точка.

ОКРЕСТНОСТЬЮ «+» БЕСКОНЕЧНОСТИ называется любой полу

бесконечный промежуток вида (а;+ ).

ОКРЕСТНОСТЬЮ «» БЕСКОНЕЧНОСТИ называется любой полу

бесконечный промежуток вида ( ;b).

ОКРЕСТНОСТЬЮ БЕСКОНЕЧНОСТИ называется объединение двух

любых окрестностей + и .

Функция f(х) называется бесконечно малой в окрестности

т.Хо,если для любого числа >0 существует проколотая

окр. т.Хо такая,что для любого числа Х,принадлежащего

прокол.окр.т.Хо выполняется неравенство ¦f(х)¦< .

>0 U U => ¦f(x)¦<

Число А называется пределом фции f(х) в т.Хо,если

в некоторой прок.окр. этой точки фцию f(х) можно

представить в виде f(х)=А+ (х),где (х)бесконечно

малое в окрестности т.Хо.

limf(x)=А

Фция f(х) называется непрерывной в т.Хо,если в некоторой

окр.т.Хо эту фцию можно представить в виде:f(х)=f(х )+ (х),

где (х)б.м. в окр.т.Хо.

Иными словами,f(х)непрерывна в т.Хо,если она в этой точке

имеет предел и он равен значению фции.

ТЕОРЕМА:Все элементарные фции непрерывны в каждой точке

области определения.

Схема:1.фя элементарна

2. определена

3. непрерывна

4. предел равен значению фции

5. значение фции равно 0

6. можно представить в виде б.м.

СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ:

Теорема#1:Единственная константа,явлся б.м.0

Теорема#2:Если (х) и (х) б.м. в окр.т.Хо,то их

сумма тоже б.м. в этой окр.

Фция f(х) называется ограниченной в окр.т.Хо,если сущ.

проколотая окр.т.Хо и сущ. число М>0,такие что ¦f(х)¦<М

в каждой точке прок.окр.т.Хо.

U M>0: ¦f(x)¦<M x U

Теорема#3:Если (х) б.м. в окр.т.Хо,то она ограничена

в этой окр.

Теорема#4:О произведении б.м. на ограниченную:

Если фция (х) б.м.,а f(х) ограниченная в окр.т.Хо,то

(х)*f(х) б.м. в окр.т.Хо.

Теорема#5:О промежуточной б.м.:

Если (х) и (х) б.м. в окр.т.Хо и (х)< (х)< (х)

в окр.т.Хо U ,то (х) б.м. в окр.т.Хо.

Две б.м. называются сравнимыми,если существует предел их

отношения.

Б.м. (х) и (х) в окр.т.Хо называются одного порядка,

если предел их отношений есть число не равное 0.

Две б.м. в окр.т.Хо называются эквивалентными,если

предел их отношения равен 1.

Теорема#1:Если и эквивалентные б.м.,то их разность

есть б.м. более высокого порядка,чем и чем .

Теорема#2:Если разность двух б.м. есть б.м. более высокого

порядка,чем и чем ,то и есть эквивалентные б.м.

Таблица основных эквивалентов б.м.:

Х_0

sinх х

е1 х

ln(1+х) х

(1+х) 1 х

Асимптотические представления:

Х_0

sinx=x+0(x)

e =1+x+0(x)

ln(1+x)=х+0(x)

(1+x) =1+ x+0(x)

Свво экв.б.м.:

Если (х) и (х) экв.б.м. в окр.т.Хо,а (х) и (х) экв.б.м.

в окр.т.Хо и сущ. lim =А,то тогда сущ. lim и он равен А.

§2 БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ БОЛЕЕ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА.

Если (х) и (х) б.м. в окр.т.Хо и lim =0,то (х)

называется бесконечно малой более высокого порядка,чем

(х). (х)=о( (х)).

Замечание:Если (х)более высокого порядка,чем (х),

то (х)=о(k (х)),k=0

Теорема БЕЗУ:Если корень многочлена,то многночлен

делится без остатка на (х ).

§3 ОСНОВНЫЕ СВВА ФЦИЙ,ИМЕЮЩИХ ПРЕДЕЛ.

ЛЕММА об оценке фции,имеющей предел отличный от нуля:

Если предел фции f(х) в т.Хо равен А и А>0,то

А/2<f(х)<3А/2 в некоторой проколотой окр.т.Хо.

Замечание:Если предел А<0,то 3А/2<f(х)<А/2.

ТЕОРЕМА#1.Необходимое условие ограничиности фции,

имеющей предел:

Если фция f(х) имеет в точке предел,то она ограничена

в окрестности этой точки.

ТЕОРЕМА#2.Арифметические операции над фциями,

имеющих предел.

Если f(х) и f(х) имеют предел в т.Хо:

lim f(х)=А

lim f(х)=B,то

тогда 1.сущ.предел их суммы и он равен сумме пределов.

2.сущ.предел их произведения и он равен

произведению пределов.

3.если В=0,то сущ.предел отношения и он равен

отношению пределов.

ТЕОРЕМЫ,СВЯЗАННЫЕ С НЕРАВЕНСТВАМИ:

Т.1:Если фция f(х),имеющая предел в т.Хо,больше 0,

то f(х)>0 в прокол.окр.т.Хо.

Наоборот,если f(х),имеющая предел в т.Хо,меньше 0,

то f(х)<0 в прокол.окр.т.Хо.

Т.2:Если фция f(х) имеет предел в т.Хо и f(х)>0 в

некоторой прокол.окр.т.Хо,то и предел f(х)>0 в т.Хо.

Т.3:Если фции f(х) и f(х) имеют предел в т.Хо:

lim f(х)=А

lim f(х)=В и

f(х)<f(х) в некоторой прокол.окр.т.Хо,то и

пределы А<В.

Т.4 о пределе промежуточной фции:

Если фции f(х) и f(х) имеют один и тот же предел

А в т.Хо и фция f(х)<f(х)<f(х) в некоторой прокол.

окр.т.Хо,то тогда сущ.предел f(х) и он равен А.

ТЕОРЕМА о переходе к пределу под знаком непрерывной

фции:

Если фция f(u) непрерывна в т.Uо,а фция u= (х) имеет

предел в т.Хо,и предел фции (х) равен Uо,то тогда

сложная фция f[ (х)] имеет предел в т.Хо и этот предел

равен f(Uо),т.е. предел f[ (х)] равен значению фции

от предела .f[ (х)]=flim (х).

§4 О ПРЕДЕЛАХ СВЯЗАННЫХ С ЧИСЛОМ e.

ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬЮ называется фция,область

определения которой натуральные числа.

Формула НЬЮТОНАбинома:

(a+b)= с a b

c=n!/k!(nk)!

c колво сочетаний из n по k.

n!=1*2*3*…*n

СОЧЕТАНИЯМИ называются всевозможные подмножества данного

множества,в частности рассматривают сочетания множества

из nэлементов по kэлементов.

Замечание: 0!=1

Таблица биномиальных коэффициентов:

n=1 1 1

n=2 1 2 1

n=3 1 3 3 1

n=4 1 4 6 4 1

n=5 1 5 10 10 5 1

n=6 1 6 15 20 15 6 1

lim(1+x) =e

§5 БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ФЦИИ.ПОВЕДЕНИЕ ФЦИИ В

БЕСКОНЕЧНОСТИ.АСИМТОТЫ.

Фция f(х) называется бесконечно большой в окр.т.Хо,если

1/f(х) будет б.м.

Асимтоты:

Прямая Т называется асимтотой кривой L,если растояние от

т.М,лежащей на кривой L,до прямой Т стремится к 0,когда

т.М по кривой удаляется в бесконечность,т.е. когда

растояние от т.М до фиксированной т.О стремится в беско

нечность.

Асимтоты графиков фции:

Теорема#1:Для того,чтобы прямая kx+b была асимтотой при

х_+ ,необходимо и достаточно,чтобы f(х)=kx+b+ (х) при

х_+ .

Теорема#2:Для того,чтобы прямая y=kx+b была астой грка

фции f(х) при х_+ ,необходимо и достаточно существование

предела при х_+ f(х)/х=k и сущ.предела при х_+

[f(х)kx]=b,т.е.,если хотя бы один из пределов не сущ.,то

асты нет.

Исследование поведения фции в окр.точки

разрыва.Классификация точек разрыва:

0:ТОЧКА УСТРАНИМОГО РАЗРЫВАточка, в которой фция имеет

предел,но не является непрерывной.

1:ТОЧКА РАЗРЫВА ПЕРВОГО РОДАточка,в которой фция имеет

предел слева,имеет предел справа, но эти пределы не равны.

2:ТОЧКА РАЗРЫВА ВТОРОГО РОДАточка,которая не является

точкой устранимого разрыва и точкой разрыва первого рода.

§6 ЛОКАЛЬНЫЕ И ГЛОБАЛЬНЫЕ СВВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФЦИЙ.

ЛОКАЛЬНЫЕ СВВАсвва фции непрерывных в данной точке,

т.к. непрер.фция имеет предел,то все свва таких фций,

имеющих предел,распространяются на непрерывные.

Свойства:если f(х) непрер.в т.Хо и f(Хо)>0,то фя больше

нуля в некоторой окр.т.Хо или;если f(х) и f(х) непрер.

в т.Хо,то их сумма тоже непрер.в этой точке.

ГЛОБАЛЬНЫЕ СВВА:

Фция f(х) называется непрерывной на отр.[a;b],если она

непрерыв.в каждой точке интервала (a;b) и непрерывна в

т.А справа и в т.В слева.

lim f(x)=f(a),lim f(x)=f(b)

ТЕОРЕМЫ КОШИ:

Теорема#1:Если фция f(х) непр. на отр.[a;b] и на концах

отрезка принимает значения разных знаков (f(а)*f(b)<0),

то сущ.точка С на отр.[a;b],такая что f(С)=0.

Теорема#2:Если фция непр. на отр.[a;b] и на концах отр.

принимает разные значения (f(a)=f(b)),то тогда для любого

числа Q,лежащего между f(а) и f(b),сущ.т.С,принадлеж.отр.

[a;b],такая что f(С)=Q.

ТЕОРЕМЫ ВЕЙЕРШТРАССА:

Теорема#1:Если фция f(х) непр. на отр.[a;b],то сущ.

числа m<f(x)<M в каждой точке этого отрезка (т.е.фя

ограничена)

Теорема#2:Если фция f(х) непр.на отр.[a;b],то сущ.

точки x и x [a;b],такие что f(x )<f(x)<f(x ) в каждой

точке этого отрезка.

ГЛАВА#2:ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА.

§1.ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА.ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ И СВВА.

Отрезок AB называется направленным,если указана,какая из

точек A и B явл.началом,а какая концом.

Два направленных отрезка называются равными,если они лежат

на одной или на параллельных прямых,сонаправлены и имеют

одинаковые длины,т.е.если один получается из другого парал.

переносом.

Вектором называется направленный отрезок.

Векторы называются коллинеарными,если они лежат на одной прямой

или на парал. прямых.

Векторы называются компланарными,если они лежат в одной или

парал. плтях.

Суммой векторов a и b называется вектор,обозначенный a+b,начало

которого совпадает с началом вектора a,а конец с концом b,

при условии,что начало вектора b совмещено с концом а.

Произведением а на число называется вектор,обозначенный

а,такой что:

1.¦ a¦=¦ ¦*¦a¦

a=0,если =0

2. দа

দа,если >0

দа,если <0

СВВА ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАЦИЙ:

1.Коммутативность:

Для любых а и b:а+b=b+a

замечание:отсюда следует,что сумму векторов а и b можно строить

как диагональ параллелограмма,построенных на векторах а и b,

причем начало всех трех векторов совмещены.

2.Ассоциативность:

Для любых а,b и с:(а+b)+с=а+(b+с)

замечание:отсюда следует,что чтобы сложить векторы а ,а ,…,а

нужно сложить из них ломанную,совмещая начало последущего вектора

с концом предыдущего,тогда их сумма замыкающая.

3.Существует вектор,называемый нульвектор,такой что для всех а:

а+0=а.

4.Для любого а сущ.вектор,называемый противоположным,обознач.а,

такой что а+(а)=0

5.Для всех а:1*а=а

6.Для любого а и любых чисел и 🙁 * )*а= ( а)= ( а)

7.Для любого а и любых чисел и 🙁 + )*а= а+ а

8.Для любых а и b и любого числа : *(а+b)= а+ b

Разностью векторов а и b называется вектор (а+(b))

Если даны векторы а ,а ,…,а и числа , ,…, ,то вектор

а + а +…+ а называется линейной комбинацией векторов

а ,а ,…,а с коэффициентами , ,…, .

Множество,для элементов которого определены операции (сложения

и умножения на число),для которых справедливы выше восемь свв

(аксиом) называется линейным пространством.

§2.Понятие линейной зависимости,размерности,базиса и координации.

Система векторов а ,а ,…,а называется линейно зависимой,если

хотя бы один из векторов этой системы есть линейная комбинация

остальных векторов этой системы.

ИЛИ

Для того,чтобы система векторов а ,а ,…,а была линейно зависи

мой необходимо и достаточно,чтобы существовали числа , ,…, ,

не равные 0,такие что линейная комбинация а + а +…+ а

равнялась нульвектору.

Система векторов называется линейно не зависимой,если она не яв

ляется линейно зависимой,т.е. ни один вектор этой системы не яв

ляется линейной комбинацией остальных и равенство 0 линейной ком

бинации векторов этой системы возможно только в том случае,когда

все коэффициенты равны 0.

Размерностью линейного пространства называется максимальное число

линейно не зависимых векторов.

Базисом называется линейно независимая система векторов,такая,

при которой любой вектор,принадлежащий этому пространству,может

быть выражен в виде линейной комбинации векторов этой системы.

Теорема единственности:

Если задан базис е ,е ,е ,то разложение любого вектора а по этому

базису единственно:

а= е + е + е

Если дан базис е ,е ,е ,то коэффициенты разложения вектора по

этому базису называются координатами.

а=( , , )

замечание:у одного и того же вектора в разных базисах разные

координаты.

Условие коллинеарности:

/ = / = /

замечание:если в одной из дробей в знаменателе 0,то равенство

нужно понимать так,что в числителе тоже 0.

Каноническое уре прямой:

x x /m=yy /p=zz /q

§3.ПОНЯТИЯ ПРОЕКЦИИ ВЕКТОРА НА ОСЬ,СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ.

СВВА ПРОЕКЦИИ И СКАЛЯР.ПРОИЗВЕДЕНИЯ.ПРИЛОЖЕНИЕ.

Углом между двумя векторами (отличными от 0) называется наименьший

угол между двумя лучами,проведенные из одной точки пространства в

направлениях этих векторов.

Численной проекцией вектора а на вектор b (b=0) называется число

равное произведению модуля а на cos угла между ними.

Пр а=¦а¦*cos a,b

Свва: Пр (а+b)=Пр а+Пр b

Пр (ka)=kПр а

Проекцией вектора на ось называется длина отрезка АВ между

основаниями перпендикуляров,опущенных из точек А и В на ось.

Радиусвектором точки пространства называется вектор,идущий в эту

точку из некоторой фиксированной точки,наз. полюсом.

Скалярным произведением а и b называется число равное произведению

длин этих векторов на cos угла между ними.

CВВА:

1.условие перпендикулярности векторов: (а,b)=0 <=> а_b

2.коммутативность: (а,b)=(b,а)

3.билинейность:

3.1: (а +а ;b)=(а ,b)+(а ,b)

(а,b +b )=(а,b )+(а,b )

3.2: ( а,b)=(а, b)= (а,b)

Правило:Скалярное произведение векторов равно сумме произведений

соответствующих координат.

(а,b)=x x +y y +z z

Приложения:

1.¦а¦= (а,а) = x +y +z ,если а=(x,y,z)

2.(а,b)=0<=>а_b

3.cos а,b=(а,b)/¦а¦¦b¦

4.Пр а=(а,b)/¦b¦

Направляющими косинусами углов называются cos углов,которые

вектор образует с векторами базиса i,j,k.

cos =x/¦a¦

cos =y/¦a¦

cos =z/¦a¦

cos +cos +cos =1,т.к. (x +y +z )/¦a¦=1.

§4.ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И ИХ СВВА.

Матрицей порядка m*n называется прямоугольная таблица чисел,

содержащая m строк и n столбцов.

Квадратной матрицей nпорядка называется матрица,у которой

число строк равно числу столбцов и равно n.

Каждой кв.матрице ставится в соответствие число называемое

определителем матрицы.

Определителем кв.матрицы nпорядка называется число равное

алгебраической сумме всевозможных произведений nэлементов

матрицы,взятых по одному из каждой строки и каждого столбца,

причем перед каждым произведением по определенному правилу

ставится знак «+» или «».

Алгебраической суммой называется сумма,в которой гдето

ставится «+»,а гдето «».

Элементы матрицы,у которых No строки совпадает с No столбца

образуют главную диагональ матрицы.

Операция замены строк матрицы ее столбцами с соответствующими

номерами называется транспортированием,а получившаяся матрица

транспортированной.

СВВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ:

1.При транспортировании матрицы ее определитель не меняется.

2.Если в матрице поменять местами две строки (столбца),то ее

определитель умножится на 1.

3.Определитель матрицы равен сумме произведений элементов

какойнибудь строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

4.Если все элементы какойнибудь строки (столбца) матрицы

умножить на число k, то ее определитель умножится на k.

5.Если все элементы какойнибудь строки (столбца) матрицы

представляют собой сумму двух слагаемых,то определитель матрицы

равен сумме двух определителей.У первого на месте этой строки

стоят первые слагаемые,а у второго вторые,а все остальные строки

у всех трех определителей одинаковы.

6.Определитель матрицы не изменится,если к одной ее строке

(столбцу) прибавить линейную комбинацию остальных строк (столбцов).

7.Если элементы одной строки умножить на соответствующие

алгебраические дополнения другой строки и сложить,то получится 0.

8.Линейная комбинация адгебраических дополнений элементов какой

нибудь строки равна определителю,у которого на месте этой строки

стоят соответствующие коэффициенты линейной комбинации,а остальные

строки совпадают со строками данного определителя.

Минором,соответствующим элементу матрицы а ,называется определитель

матрицы,которая получится,если в данной матрице вычеркнуть строку

и столбец,в которых стоит а .

Алгебраическим дополнением элемента а называется число равное

А =М *(1)

Достаточные признаки

равенства нулю

определителя:

1.Если все элементы какойнибудь строки (столбца) матрицы равно

нулю,то определитель равен 0.

2.Если в матрице есть две одинаковые строки (столбца),то ее

определитель равен 0.

3.Если матрица содержит две строки,соответствующие элементы

которой пропорциональны,то ее определитель равен 0.

Необходимое и достаточное

условие равенства нулю

определителя:

Для того чтобы определитель матрицы был равен 0,необходимо и

достаточно,чтобы ее строки (столбцы) были линейно зависимы.

§5.ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ.

Тройка некомпланарных векторов a,b,c,начало которых совмещены,

называется правой,если кратчайший поворот от вектора а к вектору

b виден совершающимся против часовой стрелки с конца вектора с.В

противном случае тройка называется левой.

СВВА ориентированных троек векторв:

1.Если a,b,c правая,то тройки b,c,a и c,a,b будут тоже правыми.

Такая перестановка называется циклической перестановкой.Т.е. при

цикл.перестановке ориентация тройки не меняется.

2.Если a,b,c правая,то тройки b,a.c и a,c,b левые.Т.е.,если

поменять местами какиенибудь два вектора,то ориентация тройки

изменится.

Векторным произведением a и b называется вектор с,такой что:

1.если а и b коллинеарны (দb),то их векторное произведение

с=[a,b]=0.

2.если а и b не коллинеарны,то с=[a,b] перпендикулярен а и _ b,

т.е.[a,b] _ плти векторов а и b и [a,b] направлен в такую

сторону,что тройка векторов a,b,[a,b] правая.Длина векторного

произведения равна ¦[a,b]¦=¦а¦¦b¦sin ab=S параллелограмма,

построенного на векторах а и b.

СВВО векторного произведения:

1.[a,b]=0 <=>a¦¦b.

2.Антикоммутативность:

[a,b]=[b,a],но [a,b]=[b,a].

3.Билинейность:

3.1:[a +a ,b]=[a ,b]+[a ,b]

[a,b +b ]=[a,b ]+[a,b ].

3.2:[ a,b]=[a, b]= [a,b].

¦i j k¦

[a,b]=¦x y z¦

¦x y z¦

Нормальный вектор это вектор перпендикулярный плти.

Ax+By+Cz+D=0 => n=(A,B,C)

Углом между двумя плтями называется угол между их нормальными

векторами.

Углом между прямой и плтью называется угол между прямой и ее

проекцией на плть,sin этого угла равен cos ,где угол между

направляющим вектором прямой и нормальным вектором плти.

Смешанным произведением векторов a ,b ,c называется число,равное

скалярному произведению векторного произведения векторов a и b на

вектор с.

([a,b],c)

Геометрический смысл

смешанного произведения:

1.Если векторы a,b,c компланарны,то их смешанное произведение

равно 0.

2.Если векторы a,b,c не компланарны,то модуль смешанного произведе

ния равен объему параллелепипеда,построенного на этих векторах,

причем смешанное произведение положительно,если тройка a,b,c пра

вая, и отрицательно,если тройка векторв левая.

СВВА смешанного

произведения:

1.([a,b],c)=(a,[b,c])

([a,b],c) смешанное произведение a,b,c.

(a,[b,c]) смешанное произведение b,c,a.

Эти смешанные произведения равны,т.к. параллелипипед один и тот же

и ориентации троек одинаковы (при циклической перестановки ориента

ция троек не меняется).

Это свво показывает,что квадратные скобки можно не ставить:

(a,b,c)=([a,b],c)

2.(a,b,c)=(b,c,a)=(c,a,b)=(c,a,b)=(b,a,c)=(a,c,b)=(c,b,a)

3.Для того,чтобы a,b,c были компланарными <=> (a,b,c)=0

4.Для того,чтобы a,b,c были линейно зависимыми <=> (a,b,c)=0

5.Трилинейность:

5.1: (a+b,c,d)=(a,c,d)+(b,c,d)

5.2: ( a,b,c)=(a, b,c)=(a,b, c)= (a,b,c)

Вычисление смешанного

произведения:

a=(x ,y ,z )

b=(x ,y ,z )

c=(x ,y ,z )

¦x y z¦

([a,b],c)=¦x y z¦

¦x y z¦

§6 ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ.

Прямая на плти частный случай прямой в пространстве.

У прямой в пространстве нет понятия нормального вектора.

Угловым коэффициентом прямой, не паралной оси y называ

ется число k, равное tg угла, на который нужно повернуть

против часовой стрелки положительную часть оси х, чтобы

она стала паралной данной прямой.

tg =(k k )/1+k k

Для перпендикулярных прямых: 1+k k=0

Для параллельных прямых:k =k

ГЛАВА#2:ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ.

§1 ПОНЯТИЯ ДИФФ. ФЦИИ, ПРОИЗВОДНОЙ И ДИФФЕРЕНЦИАЛА.

Фция f(х) называется дифференцируемой в т.Хо, если ее

приращения f(х + х)f(х ) можно представить в виде

Q(х ) х+о( х),где о( х) б.м., не зависящая от х, Q( х)

б.м. более высокого порядка, чем х.

Q(х )=lim (f(х + х)f(х ))/ х

Этот предел называется производной фцией в точке и обозначается

f'(х ).

Производной фцией f(х) в т.Хо называется предел отноше

ния приращения фции к приращению аргумента х, когда

х_0.

(х )’= х

(a )’=a lna, ((e )’=e )

(log x)’=1/xlna, ((lnx)’=1/x)

sin’x=cosx

cos’x=sinx

tg’x=1/cos x

ctg’x=1/sin x

arcsin’x=1/ 1x

arccos’x=1/ 1x

arctg’x=1/1+x

arcctg’x=1/1+x

sh’x=chx (shx=e e /2)

ch’x=shx (chx=e +e /2)

Учебная работа № 1256. Математический анализ