Для задачи ОУ характерно наличие динамического объекта. Динамический объект объект, состояние которого меняется со временем. Состояние любого динамического объекта в момент времени характеризуется параметрами . Такие параметры наз. Фазовые координаты, а сам вектор фазовый вектор.
Предполагается, что движением объекта можно управлять. Набор параметров параметры управления, u(t) вектор управления. Положение объекта зависит только от того, какое управление было до момента времени , и не зависит от того, какое управление будет в будущем. В зависимости от описания дин. Объекта рассматриваются различные задачи.
Состояние динамического объекта описывается диф. уравнением
1) эта система решается приближенным методом.
2) x(t) должны принадлежать , . Класс допустимых управлений x(t), не можат быть произвольным. , как правило мнво замкнуто и ограничено, а это не позволяет применять класс вариационого исчесления, кроме этого на могут быть наложены ограничения по времени.
3)Начальное и конечное состояние объекта.на интервале , , .Задача управления заключается в том, чтобы динамический объект, описываемый системой (1), удовлетворяющий условиям (2), перенести за промежуток времени , из состояния .Это может быть достигнуто разными способами.
4) Критерий управления. Это некоторый функционал вида . Находим такие , что
2. Основные вопросы в теории ОУ.
1) Управляемость. Можно ли осуществить перевод динамического объекта из состояния , за промежуток времени .
Существует ли ОУ.
3) Необходимые условия оптимальности принцип максимума Понтрягина.
4) Достаточные условия ОУ.
5) Единственность ОУ.
3. Постановка линейной задачи.
Линейная задача имеет вид: Рассматриваем динамический объект, поведение которого описывается системой (1) , x nмерный вектор, , Aматрица nxn, u имеет ту же размерность, что и , , замкнуто и ограничено. Допустимое управление u(t) на отр.I осуществляет переход из начального мнва в конечное множество , если существует решение уравнения (1), удовлетворяющее граничным условиям и . Цель управления перевод динамический объекта из в , а качество определяет функционал. Таким функционалом явл. время, следовательно задача быстродействия заключается в нахождении такого допустимого управления, которое осуществляет переход из множества в за наименьшее время.
4. Пространство , алгебраическая сумма, произведение множества на число .
Пространство пространство состоящее из всевозможных не пустых компактных подмножеств прва .
Мнво F компактное, если оно замкнуто и ограничено.
Мнво F ограничено, если оно содержится в шарк некоторого радиуса.
Мнво F замкнуто, если оно содержит все свои предельные точки.
Точка f предельная точка F, если в любой ее окрестности содержится хотя бы одна точка мнва F отличная от f.
Операции:1) алгебраической суммойназ. мнво C такое, что любой элемент , .
2) произведением множества на число наз. мнво C такое, что любой элемент .
5., хаусдорффова норма, лемма про определенность хаус. нормы.
это минимальный радиус шара с центром в начале координат, где .
Хаусдорффова норма это расстояние между мнми A и B:
расстояние между мнми A и B () явл. наименьшее положительное число r.
Лемма: Пусть выпуклы, тогда хаусдорффова норма
6. Опорные функции.
Задано множество и вектор . Для этих двух элементов можно определить опорную функцию следующим образом , где C опорная функция. ,
, .
, .
Пусть некоторый фиксированный вектор, а один из векторов множества F, на котором опорная функция достигает максимум: . В этом случае наз. опорным вектором мнва F в точке . А совокупность всех векторов наз. опорным множеством к множеству F в направлении .Гиперплоскость наз. опорной гиперплоскостью к множеству F в направлении . Гиперплоскость разбивает на два подпространства, при этом множество F находится в отрезке получаемый относительно , т.к. для всех точек выполняется неравенство . Если считать, что единичный вектор, ,
. опорных
7. Свойства опорной функции.
1. Опорные функция положительно однородная по переменной .
. Это значит что ,.
2. Для опорные функции удовлетворяют неравенству: 3. Два множества и , , Пусть матрица A размера n на n, и рассмотрим лин. образ множества F при лин. преобразовании A и наз.
.
4. ,где матр. сопряженная с матр. .
5. Опорная функция положительная и однородная по первому аргументу. , . Пусть и пользуемся : 1) условием однородности: 6. Пусть задано множество и его опорная фун. . Выпуклая оболочка мнва F
, .
7. Если и A=B, то опорная фун.. И наоборот, если ,то. Следствие: Выпуклые мнва равны тогда и только тогда, когда равны их опорные функции.
8. Если и . В этом случае . Если ,то. Следствие: Выпуклые мнва тогда и только тогда, когда равны их опорные функции .
9. Пусть задано множество , тогда . В обратную сторону: , когда . Следствие: Точка выпуклому мнву , тогда и только тогда , когда .
10. Пусть задано множество , а , тогда . . Следствие: Пусть задано множество , , тогда и только тогда, когда .
и если , то . И наоборот: Если ,то .Следствие: Два вып. Мнва пересекаются тогда и только тогда, когда .
8. Непрерывные функции. Условия Липшица. Лемма 1,2 об условиях Липшица для опорных функций.
Пусть два метрических пространства с метриками и пусть f отображает . f непрерывна в точке , если такое что Условие Липшица: Функция f, отображающая , удовлетворяет условию Липшица с const L , если для любых двух точек , выполняется неравенство ,для опорных функций , , :
Лемма: Опорная функция удовлетворяет условию Липшеца по f с const L=.
Лемма: Пусть выпуклы, тогда хаусдорффова норма
9. Многозначные отображения.
Многозначным отображением будем называть функцию у которой аргументом является число, а значением некоторые множества
10. Непрерывные и равномерно непрерывные многозначные отображения.
Многозначное отображение F(t) непрерывно в точке , если для .
Лемма: Пусть непрерывное многозначное отображение , когда непрерывна по t при всяком фиксированном , более того равномерно непрерывно по t .
Если равномерно непрерывно по t , то многозначное отображение conv F(t) непрерывно.
11. Измеримые многозначные отображения. Лемма о равномерной непрерывности многозначного отображения.
Функция f(t) отображающая в некоторое метрическое прво с метрикой называется измеримой, если праобраз любого шара есть мнво измеримое.
12. Интеграл от многозначного отображения. Теорема о непрерывности от многозначного отображения.
Fмногозначное отображение, такое что F: I, где , замкнутое, ограниченное, не пустое, компактное множество.
Интегралом от многозначного отображения на отрезке I называется множество G (G) вида: . Это мнво значений интеграла по всем однозначным ветвям отображения
F(t) .
Теорема 3: Пусть многозначное отображение F(t) измеримо и удовлетворяет условию: , где k(t) скалярная функция, интегрируемая по Лебегу на отрезке I и измерима, тогда непрерывна на отр. I .
Опорная функция , где F, .
13. Теоремы 1, 2 о других видах многозначных отображений.
Fмногозначное отображение, такое что F: I, где , замкнутое, ограниченное, не пустое, компактное множество.
Интегралом от многозначного отображения на отрезке I называется множество G (G) вида: . Это мнво значений интеграла по всем однозначным ветвям отображения
F(t) .
Теорема 1: Пусть многозначное отображение F(t) измеримо и удовлетворяет условию: , где k(t) скалярная функция, интегрируемая по Лебегу на отрезке I и измерима, тогда G является не пустым, компактным множеством в пространстве , и выпукло.
Теорема 2 : Пусть многозначное отображение F(t) измеримо и удовлетворяет условию: , где k(t) скалярная функция, интегрируемая по Лебегу на отрезке I и измерима, тогда опорная функция .
14. Линейная задача быстродействия. Определение абс. непрерывной функции. Теорема Каратеодори.
Рассматриваем динамический объект, поведение которого описывается системой (1) , x nмерный вектор, , Aматрица nxn, u имеет ту же размерность, что и , .Задано , u: I и полагается, что u(t) измеримо и где k(t) скалярная функция интегрируемая по Лебегу на отрезке I .Функция u(t) называется допустимым управлением, если измерима и является однозначной ветвью (2) u(t)U(t) ограничения на управления . В фазовом пространстве заданы два не пустых множества . Допустимое управление u(t) на отр.I осуществляете переход из начального мнва в конечное множество , если существует решение уравнения (1), удовлетворяющее граничным условиям (4) и . Цель управления перевод динамический объекта из в , а качество определяет функционал. Таким функционалом явл. время, следовательно
задача быстродействия заключается в нахождении такого допустимого управления, которое осуществляет переход из множества в за наименьшее время. (4).
Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений: , , где u известное . Решение задачи Коши записывается в виде: , оно справедливо, если u непрерывная.
Вычислим (это следует из ).
Определение: Функцию x(t) наз. абсолютно непрерывной на отр. I, если ее производная существует для почти всех t, принадлежащих I, интегрируемая по Лебегу производная и выполняется условие: .
Если имеем измеримое допустимое управление u(t), то решение системы (1) также можно определить с помощью формулы Коши, но в этом случае x(t) не будет непрерывно дифференцируема, а будет абсолютно непрерывной.
Теорема Каратеородори: Если функция u(t) интегрируемая по Лебегу на отр. I, то для любого начального значения существует и при том единое абс. непрерывное решение задачи Коши, которая задается формулой Коши.
15. Множество достижимости и его свойства.
Рассматриваем динамический объект, поведение которого описывается системой (1) , x nмерный вектор, , Aматрица nxn, u имеет ту же размерность, что и , .Задано , u: I и полагается, что u(t) измеримо и где k(t) скалярная функция интегрируемая по Лебегу на отрезке I .Функция u(t) называется допустимым управлением, если измерима и является однозначной ветвью (2) u(t)U(t) ограничения на управления . В фазовом пространстве заданы два не пустых множества. Допустимое управление u(t) на отр.I осуществляете переход из начального мнва в конечное множество , если существует решение уравнения (1), удовлетворяющее граничным условиям (4) и . Цель управления перевод динамический объекта из в , а качество определяет функционал. Таким функционалом явл. время, следовательно
задача быстродействия заключается в нахождении такого допустимого управления, которое осуществляет переход из множества в за наименьшее время. (4).
Введем понятия мнва достижимости: это множество все точек фазового пространства , в котором можно перейти на отр. из начального множества по решениям (1) при всех допустимых значениях управления u(t) в момент времени .
Рассмотрим свойства множества достижимости:
1) Используем формулу Коши:, интеграл от многозначного отображения. Доказательство непосредственно подставлением в уравн (1).
2) Множество достижимости является не пустым, компактным подмножеством прва . .
Доказательство следует из формулы Коши и 1ой теоремы для интеграла многозначных отображений.
3) Если начальное множество выпукло, то множество достижимости также выпукло. Доказательство следует из формулы и теоремы о выпуклости интеграла от многозначного отображения.
4) Опорная функция множества достижимости имеет вид: , u(s)=U. Доказательство следует из формулы , свойств (3), (4) опорных функций , теоремы 2 и того факта, что .
Доказательство:
.
5) Мнво достижимости: : Iнепрерывно зависит от аргумента . Множество достижимости имеет вид : непрерывна по теореме 3, матрица также непрерывна по , следовательно линейное отображение непрерывная функция.
Пример: Найти мнво достижимости для управляемого объекта, описываемого уравнением:.
, и , I.
,, , , , . , .
16. Общая задача управляемости. Теорема об управляемости.
Рассмотрим вопрос: «Оптимален ли объект?»
Рассматриваем динамический объект, поведение которого описывается системой (1) , x nмерный вектор, , Aматрица nxn, u имеет ту же размерность, что и , .Задано , u: I и полагается, что u(t) измеримо и где k(t) скалярная функция интегрируемая по Лебегу на отрезке I .Функция u(t) называется допустимым управлением, если измерима и является однозначной ветвью из многозначного отображения U (2) u(t)U(t) ограничения на управления . В фазовом пространстве заданы два не пустых множества. Допустимое управление u(t) на отр.I осуществляете переход из начального мнва в конечное множество , если существует решение уравнения (1), удовлетворяющее граничным условиям (4) и . Цель управления перевод динамический объекта из в , а качество определяет функционал. Таким функционалом явл. время, следовательно
задача быстродействия заключается в нахождении такого допустимого управления, которое осуществляет переход из множества в за наименьшее время. (4).
Задача управления решение вопроса : существует хотя бы одно допустимое управление u(t) , переводящий динамический объекта из в , на отр. времени I. Это соответствует решению краевой задачи: , .
Определим таким образом.
Теорема об уравляемости.Если и выпуклы, то объект явл. управляемым на отр. I из мнва