Учебная работа № 1249. Теория управления

1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (3 оценок, среднее: 4,67 из 5)
Загрузка...
Контрольные рефераты

Учебная работа № 1249. Теория управления

Общая постановка задачи управляемости.

Для задачи ОУ характерно наличие динамического объекта. Динамический объект объект, состояние которого меняется со временем. Состояние любого динамического объекта в момент времени характеризуется параметрами . Такие параметры наз. Фазовые координаты, а сам вектор фазовый вектор.

Предполагается, что движением объекта можно управлять. Набор параметров параметры управления, u(t) вектор управления. Положение объекта зависит только от того, какое управление было до момента времени , и не зависит от того, какое управление будет в будущем. В зависимости от описания дин. Объекта рассматриваются различные задачи.

Состояние динамического объекта описывается диф. уравнением

1) эта система решается приближенным методом.

2) x(t) должны принадлежать , . Класс допустимых управлений x(t), не можат быть произвольным. , как правило мнво замкнуто и ограничено, а это не позволяет применять класс вариационого исчесления, кроме этого на могут быть наложены ограничения по времени.

3)Начальное и конечное состояние объекта.на интервале , , .Задача управления заключается в том, чтобы динамический объект, описываемый системой (1), удовлетворяющий условиям (2), перенести за промежуток времени , из состояния .Это может быть достигнуто разными способами.

4) Критерий управления. Это некоторый функционал вида . Находим такие , что

2. Основные вопросы в теории ОУ.

  1. 1) Управляемость. Можно ли осуществить перевод динамического объекта из состояния , за промежуток времени .

  2. Существует ли ОУ.

3) Необходимые условия оптимальности принцип максимума Понтрягина.

4) Достаточные условия ОУ.

5) Единственность ОУ.

3. Постановка линейной задачи.

Линейная задача имеет вид: Рассматриваем динамический объект, поведение которого описывается системой (1) , x nмерный вектор, , Aматрица nxn, u имеет ту же размерность, что и , , замкнуто и ограничено. Допустимое управление u(t) на отр.I осуществляет переход из начального мнва в конечное множество , если существует решение уравнения (1), удовлетворяющее граничным условиям и . Цель управления перевод динамический объекта из в , а качество определяет функционал. Таким функционалом явл. время, следовательно задача быстродействия заключается в нахождении такого допустимого управления, которое осуществляет переход из множества в за наименьшее время.

4. Пространство , алгебраическая сумма, произведение множества на число .

Пространство пространство состоящее из всевозможных не пустых компактных подмножеств прва .

Мнво F компактное, если оно замкнуто и ограничено.

Мнво F ограничено, если оно содержится в шарк некоторого радиуса.

Мнво F замкнуто, если оно содержит все свои предельные точки.

Точка f предельная точка F, если в любой ее окрестности содержится хотя бы одна точка мнва F отличная от f.

Операции:1) алгебраической суммойназ. мнво C такое, что любой элемент , .

2) произведением множества на число наз. мнво C такое, что любой элемент .

5., хаусдорффова норма, лемма про определенность хаус. нормы.

это минимальный радиус шара с центром в начале координат, где .

Хаусдорффова норма это расстояние между мнми A и B:

расстояние между мнми A и B () явл. наименьшее положительное число r.

Лемма: Пусть выпуклы, тогда хаусдорффова норма

6. Опорные функции.

Задано множество и вектор . Для этих двух элементов можно определить опорную функцию следующим образом , где C опорная функция. ,

, .

, .

Пусть некоторый фиксированный вектор, а один из векторов множества F, на котором опорная функция достигает максимум: . В этом случае наз. опорным вектором мнва F в точке . А совокупность всех векторов наз. опорным множеством к множеству F в направлении .Гиперплоскость наз. опорной гиперплоскостью к множеству F в направлении . Гиперплоскость разбивает на два подпространства, при этом множество F находится в отрезке получаемый относительно , т.к. для всех точек выполняется неравенство . Если считать, что единичный вектор, ,

. опорных

7. Свойства опорной функции.

1. Опорные функция положительно однородная по переменной .

. Это значит что ,.

2. Для опорные функции удовлетворяют неравенству: 3. Два множества и , , Пусть матрица A размера n на n, и рассмотрим лин. образ множества F при лин. преобразовании A и наз.

.

4. ,где матр. сопряженная с матр. .

5. Опорная функция положительная и однородная по первому аргументу. , . Пусть и пользуемся : 1) условием однородности: 6. Пусть задано множество и его опорная фун. . Выпуклая оболочка мнва F

, .

7. Если и A=B, то опорная фун.. И наоборот, если ,то. Следствие: Выпуклые мнва равны тогда и только тогда, когда равны их опорные функции.

8. Если и . В этом случае . Если ,то. Следствие: Выпуклые мнва тогда и только тогда, когда равны их опорные функции .

9. Пусть задано множество , тогда . В обратную сторону: , когда . Следствие: Точка выпуклому мнву , тогда и только тогда , когда .

10. Пусть задано множество , а , тогда . . Следствие: Пусть задано множество , , тогда и только тогда, когда .

и если , то . И наоборот: Если ,то .Следствие: Два вып. Мнва пересекаются тогда и только тогда, когда .

8. Непрерывные функции. Условия Липшица. Лемма 1,2 об условиях Липшица для опорных функций.

Пусть два метрических пространства с метриками и пусть f отображает . f непрерывна в точке , если такое что Условие Липшица: Функция f, отображающая , удовлетворяет условию Липшица с const L , если для любых двух точек , выполняется неравенство ,для опорных функций , , :

Лемма: Опорная функция удовлетворяет условию Липшеца по f с const L=.

Лемма: Пусть выпуклы, тогда хаусдорффова норма

9. Многозначные отображ­ения.

Многозначным отображением будем называть функцию у которой аргументом является число, а значением некоторые множества

10. Непрерывные и равномерно непрерывные многозначные отображения.

Многозначное отображение F(t) непрерывно в точке , если для .

Лемма: Пусть непрерывное многозначное отображение , когда непрерывна по t при всяком фиксированном , более того равномерно непрерывно по t .

Если равномерно непрерывно по t , то многозначное отображение conv F(t) непрерывно.

11. Измеримые многознач­ные отображения. Лемма о равномерной непрерыв­ности многозначного отображения.

Функция f(t) отображающая в некоторое метрическое прво с метрикой называется измеримой, если праобраз любого шара есть мнво измеримое.

12. Интеграл от многоз­начного отображения. Теорема о непрерывности от многозначного отоб­ражения.

Fмногозначное отображение, такое что F: I, где , замкнутое, ограниченное, не пустое, компактное множество.

Интегралом от многозначного отображения на отрезке I называется множество G (G) вида: . Это мнво значений интеграла по всем однозначным ветвям отображения

F(t) .

Теорема 3: Пусть многоз­начное отображение F(t) измеримо и удовлетворяет условию: , где k(t) скалярная функция, интегрируемая по Лебегу на отрезке I и измерима, тогда непрерывна на отр. I .

Опорная функция , где F, .

13. Теоремы 1, 2 о других видах многозначных отображений.

Fмногозначное отображение, такое что F: I, где , замкнутое, ограниченное, не пустое, компактное множество.

Интегралом от многозначного отображения на отрезке I называется множество G (G) вида: . Это мнво значений интеграла по всем однозначным ветвям отображения

F(t) .

Теорема 1: Пусть многозначное отображение F(t) измеримо и удовлетворяет условию: , где k(t) скалярная функция, интегрируемая по Лебегу на отрезке I и измерима, тогда G является не пустым, компактным множеством в пространстве , и выпукло.

Теорема 2 : Пусть многозначное отображение F(t) измеримо и удовлетворяет условию: , где k(t) скалярная функция, интегрируемая по Лебегу на отрезке I и измерима, тогда опорная функция .

14. Линейная задача быстродействия. Определение абс. непрерывной функции. Теорема Каратеодори.

Рассматриваем динамический объект, поведение которого описывается системой (1) , x nмерный вектор, , Aматрица nxn, u имеет ту же размерность, что и , .Задано , u: I и полагается, что u(t) измеримо и где k(t) скалярная функция интегрируемая по Лебегу на отрезке I .Функция u(t) называется допустимым управлением, если измерима и является однозначной ветвью (2) u(t)U(t) ограничения на управления . В фазовом пространстве заданы два не пустых множества . Допустимое управление u(t) на отр.I осуществляете переход из начального мнва в конечное множество , если существует решение уравнения (1), удовлетворяющее граничным условиям (4) и . Цель управления перевод динамический объекта из в , а качество определяет функционал. Таким функционалом явл. время, следовательно

задача быстродействия заключается в нахождении такого допустимого управления, которое осуществляет переход из множества в за наименьшее время. (4).

Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений: , , где u известное . Решение задачи Коши записывается в виде: , оно справедливо, если u непрерывная.

Вычислим (это следует из ).

Определение: Функцию x(t) наз. абсолютно непрерывной на отр. I, если ее производная существует для почти всех t, принадлежащих I, интегрируемая по Лебегу производная и выполняется условие: .

Если имеем измеримое допустимое управление u(t), то решение системы (1) также можно определить с помощью формулы Коши, но в этом случае x(t) не будет непрерывно дифференцируема, а будет абсолютно непрерывной.

Теорема Каратеородори: Если функция u(t) интегрируемая по Лебегу на отр. I, то для любого начального значения существует и при том единое абс. непрерывное решение задачи Коши, которая задается формулой Коши.

15. Множество достижи­мости и его свойства.

Рассматриваем динамический объект, поведение которого описывается системой (1) , x nмерный вектор, , Aматрица nxn, u имеет ту же размерность, что и , .Задано , u: I и полагается, что u(t) измеримо и где k(t) скалярная функция интегрируемая по Лебегу на отрезке I .Функция u(t) называется допустимым управлением, если измерима и является однозначной ветвью (2) u(t)U(t) ограничения на управления . В фазовом пространстве заданы два не пустых множества. Допустимое управление u(t) на отр.I осуществляете переход из начального мнва в конечное множество , если существует решение уравнения (1), удовлетворяющее граничным условиям (4) и . Цель управления перевод динамический объекта из в , а качество определяет функционал. Таким функционалом явл. время, следовательно

задача быстродействия заключается в нахождении такого допустимого управления, которое осуществляет переход из множества в за наименьшее время. (4).

Введем понятия мнва достижимости: это множество все точек фазового пространства , в котором можно перейти на отр. из начального множества по решениям (1) при всех допустимых значениях управления u(t) в момент времени .

Рассмотрим свойства множества достижимости:

1) Используем формулу Коши: , интеграл от многозначного отображения. Доказательство непосредственно подстав­ле­нием в уравн (1).

2) Множество достижимости является не пустым, компактным подмножеством прва . .

Доказательство следует из формулы Коши и 1ой теоремы для интеграла многозначных отображений.

3) Если начальное множество выпукло, то множество достижимости также выпукло. Доказательство следует из формулы и теоремы о выпуклости интеграла от многозначного отображения.

4) Опорная функция множества достижимости имеет вид: , u(s)=U. Доказательство следует из формулы , свойств (3), (4) опорных функций , теоремы 2 и того факта, что .

Доказательство:

.

5) Мнво достижимости: : Iнепрерывно зависит от аргумента . Множество достижимости имеет вид : непрерывна по теореме 3, матрица также непрерывна по , следовательно линейное отображение непрерывная функция.

Пример: Найти мнво достижимости для управляемого объекта, описываемого уравнением:.

, и , I.

,, , , , . , .

16. Общая задача управляемости. Теорема об управляемости.

Рассмотрим вопрос: «Оптимален ли объект?»

Рассматриваем динамический объект, поведение которого описывается системой (1) , x nмерный вектор, , Aматрица nxn, u имеет ту же размерность, что и , .Задано , u: I и полагается, что u(t) измеримо и где k(t) скалярная функция интегрируемая по Лебегу на отрезке I .Функция u(t) называется допустимым управлением, если измерима и является однозначной ветвью из многозначного отображения U (2) u(t)U(t) ограничения на управления . В фазовом пространстве заданы два не пустых множества. Допустимое управление u(t) на отр.I осуществляете переход из начального мнва в конечное множество , если существует решение уравнения (1), удовлетворяющее граничным условиям (4) и . Цель управления перевод динамический объекта из в , а качество определяет функционал. Таким функционалом явл. время, следовательно

задача быстродействия заключается в нахождении такого допустимого управления, которое осуществляет переход из множества в за наименьшее время. (4).

Задача управления решение вопроса : существует хотя бы одно допустимое управление u(t) , переводящий динамический объекта из в , на отр. времени I. Это соответствует решению краевой задачи: , .

Определим таким образом.

Теорема об уравляемости.Если и выпуклы, то объект явл. управляемым на отр. I из мнва

Учебная работа № 1249. Теория управления