Учебная работа № 1199. Что такое энтропия?

Учебная работа № 1199. Что такое энтропия?

Львов Иосиф Георгиевич

Отдаленнейшие потомки наши отдадут дань восхищения великим мужам, которых породило наше столетие. Если чтолибо может быть уподоблено этому восхищению, то разве лишь величайшее изумление как то же самое столетие не смогло освободиться от такого изобилия смешного педантизма, бессмыслицы и глупых суеверий!

Л. Больцман

Настоящая статья является непосредственным продолжением предыдущей нашей статьи “Что такое энергия? Натурфилософский анализ базовых начал термодинамики и обусловленных их нерациональностью коренных проблем всего естествознания”, хотя вполне может быть полностью осмыслена и без предварительного ознакомления с таковой. В названной исходной для указанной проблематики статье глубокая иррациональность современных термодинамических построений была достаточно наглядно продемонстрирована путем чисто качественных рассуждений, теперь же нам предстоит существенно конкретизировать эти выводы, придав им необходимую математическую строгость. Однако мы и далее будем следовать принятым в предыдущей статье к руководству важнейшим рекомендациям Ричарда Фейнмана и Джемса Клерка Максвелла о наиболее предпочтительных методах решения подобных фундаментальных задач, подробно изложенным во введении к ней.

Первый, как было показано, специально предварил изложение термодинамики в своих знаменитых лекциях по физике следующим исчерпывающе ясным замечанием: “Задачи в этой области столь сложны, что даже не очень четкая и половинчатая идея оправдывает затраченное на нее время, и можно то и дело возвращаться к одной и той же задаче, приближаясь понемногу к ее точному решению”! Второй же особо настаивал, напомним, на необходимости всегда использовать именно “такой прием исследования, при котором мы могли бы сопровождать каждый свой шаг ясным физическим изображением явления” (что единственно только позволяет, по его мнению, “прийти к представлению о внутренней связи” всех явлений)! Так вот памятуя о данных важнейших наставлениях, мы и в данной конкретной статье не будем стремиться охватить сразу все вопросы без исключения, отложив наиболее сложные из них для последующего анализа. Благодаря этому и сама используемая нами математика будет пока предельно простой и наглядной, доступной для понимания практически любому образованному человеку. К тому же мы будем стараться обязательно сопровождать каждый свой математический вывод именно “ясным физическим изображением явления”, что еще более упростит осмысление соответствующей закономерности.

Именно так будет раскрыт, в том числе, и истинный смысл знаменитой энтропии, овеянной пока для очень многих практически неистребимым ореолом загадочности. На деле же, как мы увидим, ничего загадочного в ней нет, т. к. при правильной интерпретации соответствующих фактов она оказывается совершенно тривиальной характеристикой, имеющей хорошо знакомые аналоги во всех без исключения разделах физики. Обращаться же к таковым мы вообще будем постоянно, т. к. фундаментальный принцип единства природы позволяет предполагать глубокую универсальность свойственных ее различным областям базовых физических законов. Хорошей иллюстрацией сказанному могут служить, например, известные “электромеханические аналогии”, основанные на идентичности дифференциальных уравнений, описывающих процессы в электрической цепи и механической системе. С их непосредственного рассмотрения мы и начнем, поэтому, основную часть данной статьи, распространив затем полученные выводы и на другие важные физические явления, качественно проанализированные уже ранее в названной нашей предыдущей статье.

1. Универсальная закономерность

Для составления физических представлений следует освоиться с существованием физических аналогий (сравнений). Под физической аналогией я разумею то частное сходство между законами в двух какихнибудь областях явлений, благодаря которому одна область является иллюстрацией для другой.

Дж. К. Максвелл

В соответствии с упомянутыми во введении электромеханическими аналогиями все механические величины имеют свои определенные аналоги в области электрических явлений и наоборот, что даже используется иногда на практике при решении сложных инженерных задач. “Благодаря единству уравнений электрических и механических систем, особо подчеркивается этот момент в соответствующем учебном пособии, исследование явлений в механической системе может быть заменено исследованием процессов в электрической цепи, …[что] обычно сопряжено с меньшими трудностями. …Процессы в электромеханических системах, представляющих совокупность электрических и механических устройств, также могут с успехом исследоваться с помощью электромеханических аналогий” [1, С.103]. Эффективность использования названных аналогий существенно повышается к тому же благодаря идентичности дифференциальных зависимостей между напряжениями и токами для так называемых дуальных элементов самих электрических цепей, которыми, согласно тому же пособию, являются, соответственно, “сопротивление и проводимость; индуктивность и емкость” [1, С.101] и т. д. Указанное полезное обстоятельство позволяет рассматривать в качестве электрического аналога механической массы, например, равным образом и электрическую индуктивность, и электрическую емкость, что расширяет возможности проводимого анализа. По ряду соображений, которые станут более ясны впоследствии, для нас удобнее воспользоваться здесь как раз последним вариантом отмеченных аналогий, который мы теперь кратко и рассмотрим.

В выбранном варианте электромеханических аналогий конкретным аналогом массы материальной точки m будет, как легко показать, электрическая емкость так называемого уединенного проводника C, а ее механической скорости V, соответственно, его электрический потенциал U. Обе последние характеристики при этом равным образом определяются, как известно, с точностью до произвольного слагаемого, зависящего от выбора инерциальной системы отсчета в первом случае и точки нулевого потенциала во втором. То же самое можно сказать, разумеется, и о связанной с данными величинами энергии, которая в области механики принимает в данном случае форму кинетической энергии материальной точки K=mV2/2, а в области электрических явлений электрической энергии уединенного проводника E=CU2/2. Здесь обычно предполагается, что масса m не зависит от скорости движения, а электрическая емкость проводника С – от электрического потенциала, но оба приведенных выражения для энергии остаются полностью справедливы и в общем случае, если m и С считать средними значениями соответствующих величин. Формулы для указанных видов энергии могут быть также представлены, как известно, и в несколько ином виде, использующем понятия механического импульса (количества движения) p=mV в одном случае и электрического заряда (количества электричества) q=CU в другом (в данном контексте речь идет, понятно, о модулях этих величин). В итоге рассматриваемые сейчас виды энергии могут быть вообще выражены одним из следующих равноценных способов:

K = pV/2 = mV2/2 = p2 /2m; (1)

E = qU/2 = CU2/2 = q2/2C. (2)

Как видим, формулы для кинетической и электрической энергий по своей внешней форме полностью аналогичны друг другу, что и не удивительно – в конечном счете само понятие потенциала характеризует, как известно, так называемую удельную энергию, приходящуюся на единицу соответствующего заряда, и потому полная энергия по определению должна быть связана с произведением того или иного потенциала на соответствующий ему заряд. Именно таким “кинетическим зарядом” можно считать теперь, в частности, тот же механический импульс, а собственно механическая скорость представляет собой в данном свете, соответственно, сам “кинетический потенциал”. С другой стороны, любая физическая емкость по определению характеризует способность тела содержать определенный вид заряда и потому средняя электрическая емкость уединенного проводника, например, по определению равна отношению содержащегося на нем электрического заряда к его электрическому потенциалу. Аналогично и средняя “кинетическая емкость”, каковой и является собственно масса, тоже равна отношению соответствующего заряда (импульса) к соответствующему потенциалу (скорости), что и находит свое естественное отражение в приведенных выше формулах.

Но на этом аналогия электрических явлений с механическими отнюдь не заканчивается, т. к. при любых внутренних взаимодействиях в замкнутой электрической системе алгебраическая сумма присутствующих в ней электрических зарядов, как известно, точно так же всегда остается неизменной, как и алгебраическая (в общем случае – векторная) сумма импульсов взаимодействующих друг с другом частей замкнутой механической системы. Иначе говоря, электрический заряд замкнутой электрической системы точно так же сохраняется при протекании в ней любых внутренних процессов, как и импульс замкнутой механической системы. Отсюда и абсолютно полная аналогия основанных на этом сохранении соответствующих уравнений, описывающих однотипные процессы в механике и электростатике. Так, скажем, при абсолютно неупругом столкновении двух тел в механике их скорости точно так же выравниваются (оба тела “слипаются” и движутся далее совместно с единой скоростью), как и электрические потенциалы приведенных в контакт друг с другом (а значит, опять же “слипшихся”, т. е. ставших в электрическом отношении “единым телом”) заряженных проводников. И происходит это, в конечном счете, потому, что именно такие итоговые состояния данных систем являются понастоящему устойчивыми, ибо характеризуются, как отмечалось в предыдущей статье, минимальным значением соответствующего вида энергии – кинетической в первом случае и электрической во втором. Таким образом, макроскопическая энергия при неупругом столкновении тел или обмене зарядами между проводниками, как и должно быть при любом самопроизвольно протекающем процессе вообще, обязательно уменьшается, но полный механический импульс и полный электрический заряд при этом, повторим вновь и вновь, все же принципиально сохраняются!

Именно данное их сохранение и позволяет понять, за счет чего же уменьшается энергия при протекании самопроизвольных физических процессов в замкнутых системах. Ведь из формул (1) и (2) хорошо видно, что при неизменном в данных условиях импульсе или заряде уменьшение энергии возможно только за счет возрастания соответствующей емкости и одновременного понижения сопряженного с ней потенциала! Этот очевидный математический вывод легко подкрепить и чисто физическими рассуждениями, рассмотрев истинную суть происходящего при помощи следующих максимально упрощенных (но не в ущерб строгости) мысленных экспериментов. Пусть, например, одно из тел в ходе упомянутого абсолютно неупругого столкновения первоначально покоится в выбранной системе координат, т. е. имеет в ней нулевой импульс. Тогда полный импульс данной замкнутой механической системы до столкновения просто равен импульсу второго тела, налетающего на первое. После столкновения, как уже было сказано, он остается неизменным, но только теперь данным импульсом характеризуется уже движение нового тела, образовавшегося в результате “слипания” двух исходных. Причем масса этого нового тела, понятно, принципиально больше массы одного только первоначально двигавшегося второго тела, что для сохранения самого импульса требует пропорционального уменьшения итоговой скорости нового тела по сравнению с начальной скоростью названного второго. Именно это и происходит на практике, что весьма наглядно может быть представлено как “распределение” или “растекание” исходного количества движения по кинетической емкости большей величины с обязательным понижением при этом самого кинетического потенциала.

То же самое легко можно продемонстрировать и на соответствующем примере из области электростатики, когда, скажем, первый из приводимых в контакт проводников электрически нейтрален, т. е. характеризуется нулевым зарядом и нулевым электрическим потенциалом, а второй имеет ненулевые значения этих характеристик. В итоге его заряд опятьтаки просто перераспределится частично на первый проводник, “размазавшись” по большей электрической емкости и приведя тем самым к снижению итогового электрического потенциала образовавшегося нового единого проводника по сравнению с исходным потенциалом одного только второго. А значит, абсолютно справедлива и сама отмеченная выше общая закономерность – уменьшение энергии при самопроизвольных процессах в замкнутых системах всегда связано с возрастанием той конкретной емкости, по которой “распределяется” остающийся неизменным соответствующий заряд, и с обусловленным данным обстоятельством снижением общего потенциала, характеризующего рассматриваемое взаимодействие. Иначе говоря, сама обязательная убыль энергии в ходе любых самопроизвольных процессов в замкнутых системах просто отражает указанные взаимосвязанные изменения емкости и потенциала при неизменном их произведении, в чем и состоит в данном случае истинный физический смысл самой энергии вообще (являющейся, как теперь видно, просто особой формой выражения отмеченной универсальной закономерности).

Чтобы уже окончательно закрепить в умах читателей сформулированные в настоящем разделе очень простые сами по себе, но в то же время чрезвычайно важные для общего понимания природы выводы, покажем в его заключение абсолютную их справедливость и для рассматривавшегося в предыдущей статье процесса выравнивания уровня жидкости в сосуде без перегородок. В ходе этого самопроизвольного процесса достигает своего локального минимума, как специально отмечалось там, гравитационная энергия E, которая в данном конкретном случае может быть выражена следующей простой формулой:

E = mgh/2 = ρgVh/2 = ρgSh2 /2 = ρgV2/2S, (3)

где g – ускорение свободного падения тел вблизи поверхности земли, m – полная масса жидкости в сосуде, ρ – ее плотность, если жидкость однородна, V=Sh – объем этой жидкости, h – высота ее столба, S – средняя площадь сечения сосуда. Если считать сосуд цилиндрическим либо просто имеющим неизменную площадь сечения его любой горизонтальной плоскостью, перпендикулярной направлению силы тяжести, то его среднее сечение будет просто равно этому конкретному сечению. В данном случае оно представляет собой к тому же и со

Учебная работа № 1199. Что такое энтропия?