Учебная работа № 1154. Аксиоматика теории множеств

Учебная работа № 1154. Аксиоматика теории множеств

Содержание стр. ………………………………………………………………………….3

§1. Система аксиом………………………………………………………………..4

1. Аксиома объемности…………………………………………………6

2. Аксиома пары…………………………………………………………6

3. Аксиома пустого множества…………………………………………6

4. Аксиомы существования классов……………………………………8

5. Аксиома объединения……………………………………………….14

6. Аксиома множества всех подмножеств……………………………14

7. Ак­сиома выделения………………………………………………….15

8. Аксиома замещения…………………………………………………16

9. Аксиома бесконечности……………………………………………..16

§2. Аксиома выбора. Лемма Цорна…………………………………………….19

Заключение………………………………………………………………………22 Список литературы………………………………………………………………23

Значение математической логики в нашем и прошлом столетии сильно возросло. Главной причиной этого явилось открытие парадоксов теории множеств и необходимость пересмотра противоречивой интуитивной теории мно­жеств. Было предложено много различных аксиоматических теорий для обоснова­ния теории множеств, но как бы они не отличались друг от друга своими внешними чертами, общее для всех них содержание состав­ляют те фунда­ментальные теоремы, на которые в своей повседневной работе опираются математики. Выбор той или иной из имеющихся тео­рий является в основном делом вкуса; мы же не предъявляем к системе, которой будем пользоваться, никаких требований, кроме того, чтобы она служила достаточной основой для построения современной математики.

§1. Система аксиом

Опишем теорию первого порядка NBG, которая в основном явля­ется системой того же типа, что и система, предложенная перво­начально фон Нейманом [1925], [1928], а затем тщательно пере­смотренная и упрощенная Р. Робинсоном [1937], Бернайсом [1937—1954] и Гёделем [1940]. (Будем в основном следовать монографии Гёделя, хотя и с некоторыми важными от­клонениями.) Теория NBG имеет единственную предикатную букву и не имеет ни одной функциональной буквы или предметной константы. Чтобы быть ближе к обозначениям Бернайса [1937—1954] и Гёделя [1940], мы бу­дем употреблять в качестве переменных вместо x₁, x₂, … прописные латин­ские буквы X₁, Х₂, … (Как обычно, мы используем буквы X, Y, Z, … для обо­значения произвольных переменных.) Мы вве­дем также сокращенные обо­значения ХY для(X, Y) и XY для (X, Y). Содержательно знак пони­мается как символ отношения принадлежности.

Следующим образом определим равенство:

Определение. Х=Y служит сокращением для формулы .

Таким образом, два объекта равны тогда и только тогда, когда они со­стоят из одних и тех же элементов.

Определение. служит сокращением для формулы (включение).

Определение. XY служит сокращением для Х Y & X ≠ Y (соб­ствен­ное включение).

Из этих определений легко следует

Предложение 1.

(а) Х = Y (X Y & Y X);

(b) Х = Х;

(с) Х = Y Y = Х;

(d) Х = Y (Y = Z Х = Z);

(е) Х = Y (ZX ZY).

Теперь приступим к перечислению собственных аксиом теории NBG, перемежая формулировки самих аксиом различными следствиями из них и некоторыми дополнительными определениями. Предварительно, од­нако, отметим, что в той «интерпретации», которая здесь подразумевается, значениями переменных являются классы. Классы — это совокупности, со­ответствующие некоторым, однако отнюдь не всем, свойствам (те свойства, которые фактически определяют классы, будут частично указаны в аксиомах. Эти аксиомы обеспечивают нам существование необхо­ди­мых в математике классов и являются, достаточно скром­ными, чтобы из них нельзя было вы­вести противоречие). (Эта «ин­терпретация» столь же неточна, как и понятия «совокупность», «свойство» и т. д.)

Назовем класс множеством, если он является элементом какогони­будь класса. Класс, не являющийся множеством, назовем собственным клас­сом.

Определение. M(X) служит сокращением для Y(XY) (X есть множе­ство).

Определение. Pr(X) служит сокращением для M(X) (X есть собствен­ный класс).

В дальнейшем увидим, что обычные способы вывода парадоксов приводят теперь уже не к противоречию, а всего лишь к результату, состоя­щему в том, что некоторые классы не являются множествами. Множества предназначены быть теми надежными, удобными классами, которыми мате­матики пользуются в своей повседневной деятельности; в то время как соб­ственные классы мыслятся как чудовищно необъят­ные собрания, которые, если позволить им быть множествами (т. е. быть элементами других классов), порождают противоречия.

Система NBG задумана как теория, трактующая о классах, а не о пред­метах. Мотивом в пользу этого послужило то обстоятельство, что мате­матика не нуждается в объектах, не являющихся классами, вроде коров или молекул. Все математические объекты и отношения могут быть выражены в терминах одних только классов. Если же ради приложений в других науках возникает необходимость привлечения «неклассов», то незначительная мо­дификация системы NBG позволяет при­ме­нить ее равным образом как к классам, так и к «неклассам» (Мостовский [1939]).

Мы введем строчные латинские буквы x₁, x₂, … в качестве специаль­ных, ограниченных множествами, переменных. Иными словами, x₁ A (x₁) бу­дет служить сокращением для X (M(X)A (X)) , что содержательно имеет следующий смысл: «A истинно для всех множества, и x₁ A (x₁) будет служить сокращением для X (M(X)A (X)), что содержательно имеет смысл: «A истинно для некоторого множества». Заметим, что упот­ребленная в этом определении переменная X должна быть отлич­ной от пе­ременных, входящих в A (x₁). (Как и обычно, буквы х, y, z, … будут употреб­ляться для обозначения произвольных переменных для множеств.)

П р и м е р. Выражение ХхyZA (X, х, y, Z) служит сокра­щением для

ХX_j (М(X_j)Y(M(Y)&ZA (X, X_j, Y, Z))).

А к с и о м а Т. (Аксиома объемности.) Х = Y (XZYZ).

Предложение 2. Система NBG является теорией первого порядка с равенством.

А к с и о м а Р. (Аксиома пары.) xyzu (u z u = xu = y), т. е. для любых множеств х и у существует множество z такое, что х и у явля­ются единственными его элементами.

А к с и о м а N. (Аксиома пустого множества.) х

Учебная работа № 1154. Аксиоматика теории множеств