Учебная работа № 1137. Аппроксимация непрерывных функций многочленами
Содержание
I. Постановка основной задачи теории аппроксимации
1.1. Основная теорема аппроксимации влинейном нормированном пространстве
1.2. Теорема аппроксимации в пространстве Гильберта
1.3. Первая теорема Вейерштрасса
1.4. Вторая теорема Вейерштрасса
II. Круг идей П.Л. Чебышева
2.1. Теорема ВаллеПуссена и теорема существования
2.2. Теорема Чебышева
2.3. Переход к периодическим функциям
2.4. Обобщение теоремы Чебышева
III. Методы аппроксимации
3.1. Приближение функции многочленами
3.2. Формула Тейлора
3.3. Ряды Фурье
Заключение
Литература
Элементы важной и интересной области математики теория приближения функций. Под приближением функции понимают замену по определенному правилу одной функции другой, близкой к исходной в том или ином смысле. Практическая необходимость в такой замене возникает в самых различных ситуациях, когда данную функцию необходимо заменить более простой и удобной для вычислений, восстановить функциональную зависимость по экспериментальным данным, и т.п.
Основоположником теории аппроксимации функций является великий русский математик Пафнутий Львович Чебышев (18211894).
В качестве приближающих функций выбирают чаще всего алгебраические и тригонометрические многочлены. Так же важное значение имеет метод наилучшего приближения, предложенный Чебышевым. Он возник из решения практических задач, связанных с конструированием прямолинейно направляющих шарнирных механизмов. Такие механизмы в XIX веке использовались в паровых машинах основных универсальных двигателях того времени для поддержания прямолинейного движения поршневого штока. К ним относятся параллелограмм Уатта и некоторые его разновидности.
На дальнейшее развитие этой теории оказало влияние открытие, сделанное в конце XIX века немецким математиком Карлом Вейерштрассом. Им была доказана принципиальная возможность приближения произвольной непрерывной функции с любой заданной степенью точности алгебраическим многочленом, что явилось второй причиной применения этих многочленов как универсального средства приближения функций, с заданной сколь угодно малой ошибкой.
Кроме алгебраических многочленов, другим средством приближения функций являются тригонометрические многочлены, значение которых в современной математике, конечно, не исчерпывается указанной ролью.
I. Постановка основной задачи аппроксимации
Основную задачу теории аппроксимации можно сформулировать следующим образом: на некотором точечном множестве в пространстве произвольного числа измерений заданы 2 функции f(P) и F(P,A1 ,A2 …An ) от точки P
Если, например, рассматриваются ограниченные функции, то в качестве расстояния между двумя функциями можно взять верхнюю грань в
Последнее обстоятельство, с которым постоянно приходится сталкиваться в математике при рассмотрении других классов функций и многих иных совокупностей (множеств), привело к созданию весьма важного понятия метрического пространства, так что при дальнейшем изложении совокупность
1.1. Основная теорема аппроксимации линейном нормированном пространстве
Пусть Е произвольное нормированное пространство, пусть g1 ,g2 …gn n линейно независимых элементов из Е. Основную задачу аппроксимации применительно к рассматриваемому нами “линейному случаю” можно сформулировать следующим образом: дан элемент х
Докажем, что требуемые значения чисел
Предварительно заметим, что
Введём теперь вторую непрерывную функцию:
На “сфере”
Неотрицательное число
Желая найти минимум функции
Итак, существование линейной комбинации
Строго нормированное пространство.
Возникает вопрос, когда выражение
Указанная единственность во всяком случае имеет место тогда, когда пространство Е строго нормировано, т.е. когда в неравенстве
В самом деле, допуская, что пространство Е строго нормировано, предположим, что элемент х имеет два выражения:
Следовательно, в силу строгой нормированности пространства:
В этом соотношении
Примером строго нормированного пространства является пространство Н, а также Lp при р>1, но пространства С и L не являются строго нормированными.
Действительно, возьмём интервал [1,1] и две линейно независимые функции x(t) и y(t)
Тогда очевидно,
Геометрическая интерпретация.
Проблема, существование решения которой мы ранее доказали, допускает полезную геометрическую интерпретацию. Действительно, совокупность точек вида
Наша проблема, таким образом, состояла в нахождении точки конечномерного подпространства G пространства E, которая от заданной точки х
Если само пространство Е не является конечномерным, т.е. если в нём имеется сколько угодно линейно независимых между собой векторов, то Е содержит бесконечномерные подпространства. Пусть G такое подпространство.
Возникает вопрос, существует ли в G точка, наименее удалённая от заданной точки
1.2. Теоремы аппроксимации в пространстве Н.
Пусть G некоторое подпространство пространства Гильберта Н, и пусть точка x
Имеем
В этом случае, когда подпространство конечномерно и образовано линейно независимыми векторами g1 ,g2 …gn , мы можем, пользуясь доказанными предложениями, фактически найти вектор y=
и представляют систему линейных уравнений, для нахождения коэффициентов
Детерминант этой системы, т.е.
носит название детерминанта Грама системы векторов g1 ,g2 …gn .
Так как пространствоН строго нормировано, а векторы gi линейно независимы, то при любом векторе x система (2) имеет одно и только одно решение. Отсюда вытекает, что детерминант Грама линейно независимых векторов всегда отличен от нуля.
Найдём ещё выражение для квадрата погрешности, с которой вектор y аппроксимирует вектор x, т.е. для величины
В силу (1), имеем равенство
Присоединяя это уравнение к системе (2) и исключая