Учебная работа № 1033. Симметpия относительно окpужности

Учебная работа № 1033. Симметpия относительно окpужности

С.А. Ануфриенко

Симметpия, как бы шиpоко или узко мы ни понимали это слово, есть идея, с помощью котоpой человек в течение веков пытался объяснить и создать поpядок, кpасоту и совеpшенство.

Геpман Вейль

Со временем замечаешь, как непохожи друг на друга пути, ведущие к решению красивых геометрических проблем. Бесконечность возможных направлений поиска многих людей приводит в трепет, но одновременно дает хорошую надежду отыскать свою собственную дорогу в геометрическом лабиринте. В любом случае открытие метода, позволяющего решить целый ряд сложных задач, является событием большой редкости. Об одном из таких методов и пойдет речь в этой статье. Мы начинаем с перечисления некоторых классических проблем, решения которых будут приведены позже.

A. Четыре окружности w₁ , w₂ , w₃ и w₄ расположены таким образом, что w_i касается w_i+1 для i < 4, а w₄ касается w₁ . Образуются четыре точки касания. Доказать, что найдется окружность, проходящая через все эти точки.

B. Разделить с помощью циркуля данный отрезок [AB] на n равных частей (n Î N).

C. Только с помощью циркуля найти центр данной окружности.

D. Даны точки A, B, C, D и окружность w. Только с помощью циркуля найти пересечение прямых (AB) и (CD), а также точки пересечения прямой (AB) с окружностью w (задачи геометрии МораМаскерони).

E. Построить окружность, которая проходит через две данные точки A и B и касается данной окружности w₁ .

F. Построить окружность, проходящую через данную точку и касающуюся двух данных окружностей.

G. Построить окружность, касающуюся трех данных окружностей (задача Аполлония).

H. Для двух различных точек A и B и положительного числа k найти геометрическое место точек X, для которых отношение |XA|/|XB| равно k ¹ 1 (окружность Аполлония).

I. Для произвольного треугольника через r, R и d обозначим соответственно радиусы вписанной и описанной окружностей и расстояние между их центрами. Доказать, что d² = R² 2Rr (формула Эйлера).

Инверсия и ее свойства

В 1831 году Л. Дж Магнус впервые стал рассматривать преобразование плоскости, которое получило название симметрии относительно окружности или инверсии (от лат. inversio обращение). Под инверсией плоскости a относительно окружности w(O,R) с центром в точке O и радиусом R понимают такое преобразование множества a\{O}, при котором каждой точке A Îa\{O} ставится в соответствие такая точка A¢, что A¢ лежит на луче [OA) и |OA|·|OA¢| = R² (далее будем использовать обозначение inv_O ^R (A) = A¢). Заметим сразу, что инверсия не определена в точке O, но иногда бывает полезно добавить к плоскости одну бесконечно удаленную точку, т.е. рассмотреть множество aÈ{¥} и при этом считать, что inv_O ^R (O) = ¥ и inv_O ^R (¥) = O.

На рис. 1 указан способ построения образа точки A при инверсии относительно окружности w = w(O,R). Для этого проводят перпендикуляр (AB) к прямой (OA) и из точки пересечения wÇ(AB) проводят касательную к окружности w. Из подобия треугольников DOAB и DOBA¢ получаем отношение |OA|/ |OB| = |OB|/ |OA¢| или

|OA|·|OA¢| = |OB|² = R² . Следовательно inv_O ^R (A) = A¢.

Рис. 1

На рис. 2 построение образа выполнено только с помощью циркуля (в предположении, что |OA| > R/2). Для этого достаточно провести окружность

w(A,|OA|) и для двух точек пересечения w(O,R)Çw(A,|OA|) построить равные окружности w(B,R) и w(C,R). Вторая точка пересечения w(B,R)Çw(C,R), отличная от точки O, является искомой. Для доказательства используем подобие равнобедренных треугольников DOBA¢ и DOBA. Сначала получаем |OA¢|/ |OB| = |OB|/|OA|, а затем, необходимое |OA|·|OA¢| = |OB|² = R² . Если же |OA|£ R/2, то сначала увеличивают отрезок [OA] в n раз до отрезка [OB] (удвоение отрезка показано на рис. 3 последовательно откладывают радиус |OA| на окружности w(A,|OA|) и используют свойство правильного вписанного шестиугольника), после этого находят B¢ = inv_O ^R (B) и снова увеличивают (а не уменьшают!) отрезок [OB¢] в n раз до отрезка [OC]. Можно доказать, что C = inv_O ^R (A).

Рис. 2 Рис. 3

Из многочисленных свойств инверсии рассмотрим лишь следующие. Пусть

A¢ = inv_O ^R (A) и B¢ = inv_O ^R (B).

I. Если A ¹ B, то A¢¹ B¢.

Утверждение требует проверки только когда лучи [OA) и [OB) совпадают. В этом случае |OA|¹|OB| и поэтому |OA¢|¹|OB¢|. Приходим к неравенству A¢¹ B¢.

II. Все точки окружности w(O,R) при инверсии inv_O ^R остаются неподвижными. Внутренние точки круга с границей w(O,R) переходят во внешние, а внешние во внутренние.

Первая часть утверждения очевидна, а вторая следует из замечания: если

|OA| < R, то |OA¢| = R² /|OA| > R.

III. Если A¢ = inv_O ^R (A), то A = inv_O ^R (A¢). Для произвольных фигур F и F¢ из условия F¢ = inv_O ^R (F) также следует F = inv_O ^R (F¢).

IV. Треугольники DAOB и DA¢OB¢ подобны. При этом ÐOBA = ÐOA¢B¢.

Достаточно заметить, что эти треугольники имеют общий угол, а из равенства |OA|·|OA¢| = R² = |OB|·|OB¢| следует равенство отношений |OA|/|OB¢| = |OB|/|OA¢|. Обратите внимание, что в отличие от подобия, пропорциональность связывает стороны [OA] и [OB¢], [OB] и [OA¢], а не [OA] и [OA¢], [OB] и [OB¢]. Из подобия получаем ÐOBA = ÐOA¢B¢.

V.

|A¢B¢| = |AB|

|OA|·|OB|·R² .

Действительно, по свойству IV имеем

|A¢B¢| = |AB|·|OA¢|

|OB|= |AB|

|OA|·|OB|·R² .

VI. Прямая a, проходящая через центр инверсии, отображается в себя. Если же O Ï a и A основание перпендикуляра из точки O на прямую a (рис. 4), то образом прямой a будет окружность w₁ , построенная на отрезке [OA¢] как на диаметре (A¢ = inv_O ^R (A)).

Рис. 4

Для доказательства этого свойства рассмотрим произвольную точку B прямой a. По свойству IV ÐOB¢A¢ = ÐOAB = 90^° . Следовательно точка B¢ лежит на окружности с диаметром [OA¢]. Удивление от такого неожиданного действия инверсии на произвольную прямую пройдет, если принять в расчет бесконечно удаленную точку. Каждая прямая проходит через ¥. Поэтому переход ¥ в точку O заставляет концы прямой сжиматься к точке O. Следующее свойство позволяет определить центр окружности, которая является образом прямой из свойства VI.

VII. Пусть w₁ = inv_O ^R (a). Обозначим через O₁ = S_a (O), где S_a осевая симметрия с осью a (рис. 4). Тогда центром окружности w₁ является точка O₁ ¢ = inv_O ^R (O₁ ).

Сохраняя принятые в предыдущем свойстве обозначения, имеем |OO₁ | = 2|OA|. Подставляя это в равенство |OA|·|OA¢| = R² = |OO₁ |·|OO₁ ¢| получаем |OO₁ ¢| = |OA¢|/2. Поэтому точка O₁ ¢ является серединой отрезка [OA¢].

VIII. Окружность w₁ (O₁ ,r), проходящая через центр инверсии, отображается на некоторую прямую a. Более того, если A конец диаметра, проходящего через O и O₁ (A ¹ O), то прямая a проходит через точку A¢ = inv_O ^R (A) и перпендикулярна прямой (OO₁ ).

Справедливость этого свойства сразу следует из свойств III и VI.

IX. Окружность w₁ (O₁ ,r₁ ), не проходящая через центр инверсии, отображается при inv_O ^R на некоторую окружность w₂ (O₂ ,r₂ ). Точнее, если точки A и B являются концами диаметра, лежащего на прямой (OO₁ ) (рис. 5), то отрезок [A¢B¢] является диаметром окружности w₂ (A¢ = inv_O ^R (A), B¢ = inv_O ^R (B)).

Рис. 5

Для доказательства рассмотрим произвольную точку C окружности w₁ и покажем, что C¢ = inv_O ^R (C) Îw₂ . Из свойства IV имеем равенства ÐOCA = ÐOA¢C¢ и ÐOCB = ÐOB¢C¢. Поэтому ÐA¢C¢B¢ = ÐOB¢C¢ ÐOA¢C¢ = ÐOCBÐOCA = 90^° . Следовательно C¢Îw₂ .

Переходит ли центр O₁ в центр образа w₂ , точку O₂ ? Никогда (убедитесь в этом с помощью прямых вычислений, т.е. докажите, что O₁ ¢ = inv_O ^R (O₁ ) не может быть серединой [A¢B¢]). Этот «недостаток» инверсии с лихвой компенсируется замечательным ее свойством сохранять величину угла. Напомним, что угол между пересекающимися окружностями по определению равен углу между касательными к этим окружностям в точке их пересечения. Аналогично определяется и угол между пересекающимися прямой и окружностью. Рассмотрим частный случай: для двух касающихся окружностей w₁ и w₂ определим величину угла между inv_O ^R (w₁ ) и inv_O ^R (w₂ ). Вид образов inv_O ^R (w₁ ) и inv_O ^R (w₂ ) во многом зависит от положения точки O относительно окружностей w₁ и w₂ . Так, если O Ïw₁ Èw₂ , то из свойств I и IX получаем, что inv_O ^R (w₁ ) и inv_O ^R (w₂ ) являются касающимися окружностями. Если же O лежит только на одной из окружностей, например на w₁ , то из свойств I, VIII и IX получим касающиеся прямую inv_O ^R (w₁ ) и окружность inv_O ^R (w₂ ). И, наконец, если O совпадает с точкой касания окружностей, то inv_O ^R (w₁ ) и inv_O ^R (w₂ ) являются параллельными прямыми (величина угла между параллельными прямыми по определению равна нулю). Итак, в каждом из случаев, величина угла между inv_O ^R (w₁ ) и inv_O ^R (w₂ ) равна нулю. Аналогично можно установить, что если прямые a и b параллельны, то величина угла между inv_O ^R (a) и inv_O ^R (b) также равна нулю.

X. Инверсия сохраняет величину угла между прямыми, пересекающимися окружностями, пересекающимися прямой и окружностью.

Докажем сначала, что для любых прямых угол Ða,b совпадает с углом между inv_O ^R (a) и inv_O ^R (b). Утверждение очевидно, если прямые проходят через точку O. Пусть теперь O Î a и O Ï b (рис. 6). Обозначим через w₁ окружность, в которую переходит прямая b, и через b₁ касательную к w₁ в точке O. Так прямые b и b₁ перпендикулярны одному и тому же диаметру, то они параллельны. Поэтому угол между a и w₁ , равный по определению углу между a и b₁ , совпадает с углом Ða,b. Рассуждения аналогичны и в случае, когда O Ï aÈb (надо рассмотреть касательные к окружностям inv_O ^R (a) и inv_O ^R (b) в точке O).

Рис. 6

Поскольку угол между окружностями и между прямой и окружностью определялся через касательные, то доказательство остальных двух утверждений легко сводятся к случаю сохранения угла между прямыми.

Основой решения целого ряда геометрических проблем является удачное применение того или иного преобразования плоскости. При этом мы считаем использование какоголибо преобразования удачным, если образы рассматриваемых фигур поддаются простому геометрическому анализу. В задаче Фаньяно¹ , например, стороны треугольника наименьшего периметра получаются из отрезка прямой серией осевых симметрий. При отыскании точки Ферма² похожая идея реализуется с помощью поворота на 60^° . В следующих параграфах попробуем выяснить насколько способность к упрощению свойственна инверсии. Этот параграф закончим решением проблемы A.

Решение A. Обозначим через A, B, C, и D соответственно точки касания w₁ Çw₂ , w₂ Çw₃ , w₃ Çw₄ и w₄ Çw₁ . Сделаем инверсию с центром в O = A относительно окружности некоторого радиуса R. По свойству VIII и IX получим пару параллельных прямых a = inv_O ^R (w₁ ), b = inv_O ^R (w₂ ) и пару касающихся окружностей w₃ ¢ = inv_O ^R (w₃ ) и w₄ ¢ = inv_O ^R (w₄ ) (рис. 7).

Рис. 7

Нетрудно заметить, что точки касания исходных окружностей, за исключением точки A (которую инверсия забросит в бесконечность), отобразятся в точки касания образов. Докажем теперь, что B¢, C¢ и D¢ лежат на одной прямой. Так как (KB¢)||(LD¢), то ÐB¢KC¢ = ÐC¢LD¢. Отсюда следует равенство ÐKC¢B¢ = ÐLC¢D¢ (DKC¢B¢ и DLC¢D¢ являются равнобедренными), поэтому B¢, C¢ и D¢ лежат на одной прямой. Обозначим эту прямую через c и подействуем на нее снова инверсией inv_O ^R . Ее образ это окружность inv_O ^R (c), которая проходит через центр инверсии, точку A, а также через точки B = inv_O ^R (B¢), C = inv_O ^R (C¢) и D = inv_O ^R (D¢).

Геометрия МораМаскерони

Теория построения одним циркулем получила свою известность благодаря книге «Геометрия циркуля»(1797 г.) Лоренцо Маскерони³ . Значительно позже в одном из букинистических магазинов была обнаружена книга датского математика Георга Мора «Датский Евклид», датированная 1672 годом! Обе книги содержат основной результат геометрии циркуля:

Теорема МораМаскерони. Все построения, выполненные с помощь циркуля и линейки, могут быть проделаны только с помощью циркуля (при этом мы считаем прямую построенной, если найдены хотя бы две точки этой прямой).

Для доказательства этой теоремы достаточно научиться находить только с помощью циркуля пересечения двух прямых, прямой и окружности, что и составляет проблему D. Сначала рассмотрим решения задач B и C, которые носят вспомогательный характер.

Решение B. Чтобы разделить отрезок [AB] на n равных частей, сначала увеличим его в n раз, т.е. найдем точку C, что |AC| = n|AB|. А затем построим точку C¢ образ точки C при инверсии относительно окружности w(A,|AB|). Из соотношения |AC|·|AC¢| = |AB|² получаем |AC¢| = |AB|/n. Все указанные построения можно выполнить только с по

Учебная работа № 1033. Симметpия относительно окpужности