Учебная работа № 1003. Транспортная задача линейного программирования
Курсовая работа по дисциплине экономико–математические методы
Калининградский филиал
Специальностьменеджмент
1.История зарождения и создания линейного программирования.
Каждый человек ежедневно, не всегда осознавая это, решает проблему: как получить наибольший эффект, обладая ограниченными средствами. Наши средства и ресурсы всегда ограничены. Жизнь была бы менее интересной, если бы это было не так. Не трудно выиграть сражение, имея армию в 10 раз большую, чем у противника. Чтобы достичь наибольшего эффекта, имея ограниченные средства, надо составить план, или программу действий. Раньше план в таких случаях составлялся “на глазок” (теперь, впрочем, зачастую тоже). В середине XX века был создан специальный математический аппарат, помогающий это делать “по науке”. Соответствующий раздел математики называется математическим программированием. Слово “программирование” здесь и в аналогичных терминах (“линейное программирование, динамическое программирование” и т.п.) обязано отчасти историческому недоразумению, отчасти неточному переводу с английского. Порусски лучше было бы употребить слово “планирование”. С программированием для ЭВМ математическое программирование имеет лишь то общее, что большинство возникающих на практике задач математического программирования слишком громоздки для ручного счета, решить их можно только с помощью ЭВМ, предварительно составив программу. Временем рождения линейного программирования принято считать 1939г., когда была напечатана брошюра Леонида Витальевича Канторовича “Математические методы организации и планирования производства”. Поскольку методы, изложенные Л.В.Канторовичем, были мало пригодны для ручного счета, а быстродействующих вычислительных машин в то время не существовало, работа Л.В.Канторовича осталась почти не замеченной.
Свое второе рождение линейное программирование получило в начале пятидесятых годов с появлением ЭВМ. Тогда началось всеобщее увлечение линейным программированием, вызвавшее в свою очередь развитие других разделов математического программирования. В 1975 году академик Л.В.Канторович и американец профессор Т.Купманс получили Нобелевскую премию по экономическим наукам за “вклад в разработку теории и оптимального использования ресурсов в экономике”.
В автобиографии, представленной в Нобелевский комитет, Леонид Витальевич Канторович рассказывает о событиях, случившихся в 1939 году. К нему, 26летнему профессоруматематику, обратились за консультацией сотрудники лаборатории планерного треста, которым нужно было решить задачу о наиболее выгодном распределении материала между станками. Эта задача сводилась к нахождению максимума линейной функции, заданной на многограннике. Максимум такой функции достигался в вершине, однако число вершин в этой задаче достигало миллиарда. Поэтому простой перебор вершин не годился. Леонид Витальевич писал: “оказалось, что эта задача не является случайной. Я обнаружил большое число разнообразных по содержанию задач, имеющих аналогичный математический характер: наилучшее использование посевных площадей, выбор загрузки оборудования, рациональный раскрой материала, распределение транспортных грузопотоков… Это настойчиво побудило меня к поиску эффективного метода их решения”. И уже летом 1939 года была сдана в набор книга Л.В.Канторовича “Математические методы организации и планирования производства”, в которой закладывались основания того, что ныне называется математической экономикой.
Однако идеи Л.В.Канторовича не встретили понимания в момент их зарождения, были объявлены ересью, и его работа была прервана. Концепции Леонида Витальевича вскоре после войны были переоткрыты на западе. Американский экономист Т.Купманс в течение многих лет привлекал внимание математиков к ряду задач, связанных с военной тематикой. Он активно способствовал тому, чтобы был организован математический коллектив для разработки этих проблем. В итоге было осознано, что надо научиться решать задачи о нахождении экстремумов линейных функций на многогранниках, задаваемых линейными неравенствами. По предложению Купманса этот раздел математики получил название линейного программирования.
Американский математик А.Данциг в 1947 году разработал весьма эффективный конкретный метод численного решения задач линейного программирования (он получил название симплекс метода). Идеи линейного программирования в течение пяти шести лет получили грандиозное распространение в мире, и имена Купманса и Данцига стали повсюду широко известны.
Примерно в это время Купманс узнал, что еще до войны в далекой России уже было сделано нечто похожее на разработку начал линейного программирования. Как легко было бы Данцигу и Купмансу проигнорировать эту информацию! Маленькая книжица, изданная ничтожным тиражом, обращенная даже не к экономистам, а к организаторам производства, с минимумом математики, без четко описанных алгоритмов, без доказательств теорем – словом, стоит ли принимать такую книжку во внимание… Но Купманс настаивает на переводе и издании на западе книги Канторовича. Его имя и идеи становятся известны всем. Воздадим должное благородству американского ученого!
А самому Леониду Витальевичу – как естественно было бы ему, испытав первые грозные удары ретроградов, остеречься от “грехов” молодости, забыть про всю эту экономику и вернуться к математике. Но Л.В.Канторович продолжает писать математические работы, навеянные экономическими идеями, участвует и в конкретных разработках на производстве. При этом (одновременно с Данцигом, но, не зная его работ) он разрабатывает метод, позже названный симплексметодом. Как только в 50е годы образуется маленький просвет, и коечто из запретного становится возможным, он организует группу студентов на экономическом факультете ЛГУ для обучения методам оптимального планирования. А, начиная с 1960 года, Леонид Витальевич занимается только экономической и связанной с нею математической проблемами. Его вклад в этой области был отмечен Ленинской премией в 1965 году (присуждена ему совместно с В.С.Немчиновым и В.В.Новожиловым) и, как уже говорилось, Нобелевской премией в 1975 году.
2.Транспортная задача. Общая постановка, цели, задачи. Основные типы, виды моделей.
Под названием “транспортная задача” объединяется широкий круг задач с единой математической моделью. Данные задачи относятся к задачам линейного программирования и могут быть решены симплексным методом. Однако матрица системы ограничений транспортной задачи настолько своеобразна, что для ее решения разработаны специальные методы. Эти методы, как и симплексный метод, позволяют найти начальное опорное решение, а затем, улучшая его, получить оптимальное решение.
В общей постановке транспортная задача состоит в отыскании оптимального плана перевозок некоторого однородного груза с баз
Различают два типа транспортных задач: но критерию стоимости (план перевозок оптимален, если достигнут минимум затрат на его реализацию) и по критерию времени (план оптимален, если на его реализацию затрачивается минимум времени).
|
Обозначим количество груза, имеющегося на каждой из
|
заказы каждого из потребителей (потребности) обозначим соответственно
|
Тогда при условии
|
мы имеем закрытую модель, а при условии
– открытую модель транспортной задачи.
Очевидно, в случае закрытой модели весь имеющийся в наличии груз развозится полностью, и все потребности заказчиков полностью удовлетворены; в случае же открытой модели либо все заказчики удовлетворены и при этом на некоторых базах остаются излишки груза
Так же существуют одноэтапные модели задач, где перевозка осуществляется напрямую от, например, базы или завода изготовителя к потребителю, и двухэтапные, где между ними имеется “перевалочный пункт”, например – склад.
План перевозок с указанием запасов и потребностей удобно записывать в виде следующей таблицы, называемой таблицей перевозок:
Пункты Отправления |
Пункты назначения | Запасы | |||
… | |||||
… | |||||
… | |||||
… | … | … | … | … | … |
… | |||||
Потребности | … |
или |
Условие
Очевидно, переменные
|
|
Система (2.1) содержит
|
где символы